Актуальность исследования. Все, что мы слышим, видим, осязаем, описывается уравнениями в частных производных или уравнениями математической физики. Среди процессов и явлений, адекватные модели которых основаны на таких уравнениях, можно отметить, например, колебания струны, волны на поверхности воды, звуковые и электромагнитные волны (в частности, свет), распространение тепла и диффузия, гравитационное притяжение планет и галактик, поведение электронов в атомах и молекулах, а также Большой Взрыв, приведший к образованию нашей Вселенной. Уравнения с частными производными образуют сегодня огромную и необозримую область математики и математической физики, использующую методы всей остальной математики. Однако ни одна книга, ни один учебник не могут достичь полноты в описании этой области.
Дифференциальные уравнения с частными производными, имеющие в каждой точке области своего задания и действительные, и комплексные характеристики, называются уравнениями составного типа. Впервые краевые задачи для таких уравнений были рассмотрены Ж.Адамаром, который в качестве модельного уравнения составного типа предложил уравнения
Сформулируем некоторые наиболее характерные задачи для эллиптических, гиперболических и параболических уравнений.
Пусть граница S области D пространства Еп представляет собой гладкую (п — 1)-мерную гиперповерхность. В дальнейшем под поверхностью в пространстве Еп будем понимать именно (п — 1)-мерную гиперповерхность.
Требуется определить регулярное в области D решение и(х) уравнения Аи = 0, непрерывное в замкнутой области D U S и удовлетворяющее краевому условию
lim и(х) = у (у), хЕ D, у ES, (1)
Х^у
где у —заданная на S действительная непрерывная функция.
Сформулированная задача носит название первой краевой задачи или задачи Дирихле.
регулярного
Обозначим через G область пространства Еп-1 переменных по условиям где у и ^ — заданные в G достаточно гладкие действительные функции, называется задачей Коши. Условия (2) известны под названием начальных условий.
Пусть D — область пространства Еп, ограниченная цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси хп, и двумя плоскостями хп = 0, хп = h, h> 0^ Часть границы области D без верхнего основания хп = h обозначим через S. Требуется найти регулярное в области D решение и(х) уравнения
d2u
~dxf
по краевому условию
lim u(x) = p(y), у E S, x E D
X^y
где ф — заданная на S достаточно гладкая действительная функция. Эта задача называется первой краевой задачей для уравнения (3).
Цель исследования: изучение краевых задач.
Задачи:
- изучить классификацию и приведение к каноническому виду уравнений в частных производных второго порядка;
- использовать классический метод Римана для решения широкого класса задач для уравнений с частными производными;
- исследовать задачу для факторизованного дифференциального уравнения в характеристическом прямоугольнике.
Объект исследования: дифференциальные уравнения с частными производными.
Методы исследования. Используются методы теории уравнений с частными производными.
Структура и объем работы: ВКР состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы. Текст изложен на 42 страницах, включая формулы. В списке литературы содержится 18 наименований.
Купить

При выводе дифференциальных уравнений с частными производными из общих законов, которым подчинены изучаемые явления природы, естественно возникают дополнительные условия, налагаемые на искомые решения. Центральное место в теории уравнений с частными производными занимает доказательство существования и единственности именно таких решений, которые удовлетворяют этим условиям. Если окажется, что малое изменение данных, входящих как в уравнения, так и в дополнительные условия, вызывает малое изменение удовлетворяющего им решения или, как ещё принято говорить, искомое решение устойчиво, то задача называется правильно (корректно) поставленной. Важно заметить, что условия задач, которым должны удовлетворять искомые решения, существенно зависят от типа рассматриваемого уравнения.
В данной работе рассматриваются вопросы корректной постановки и исследования краевых задач для уравнений смешанного, составного и смешанно-составного типов. Основное внимание уделено уравнениям третьего порядка как составного типа, так и с действительными характеристиками.
Таким образом, была продемонстрирована возможность использования классического метода Римана для решения широкого класса задач для уравнений с частными производными. В частности, исследована задача для факторизованного дифференциального уравнения в характеристическом прямоугольнике. Исследованы некоторые новые краевые задачи для модельных уравнений третьего порядка параболо-гиперболического типа.

Купить