ВВЕДЕНИЕ 3
Глава 1. Классификация уравнений с частными производными второго порядка 6
1.1. Уравнения с частными производными 6
1.2. Классификация и приведение к каноническому виду уравнений в
частных производных второго порядка 8
Глава 2. Задачи для факторизованных уравнений 14
2.1. Метод Римана 14
2.2. Задача в характеристическом прямоугольнике 18
2.3. Краевые задачи для уравнений третьего порядка парабологиперболического типа 23
2.4. Краевая задача для уравнения гиперболического типа 3-го
порядка 29
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 41
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Купить

Актуальность исследования. Все, что мы слышим, видим, осязаем, описывается уравнениями в частных производных или уравнениями математической физики. Среди процессов и явлений, адекватные модели которых основаны на таких уравнениях, можно отметить, например, колебания струны, волны на поверхности воды, звуковые и электромагнитные волны (в частности, свет), распространение тепла и диффузия, гравитационное притяжение планет и галактик, поведение электронов в атомах и молекулах, а также Большой Взрыв, приведший к образованию нашей Вселенной. Уравнения с частными производными образуют сегодня огромную и необозримую область математики и математической физики, использующую методы всей остальной математики. Однако ни одна книга, ни один учебник не могут достичь полноты в описании этой области.
Дифференциальные уравнения с частными производными, имеющие в каждой точке области своего задания и действительные, и комплексные характеристики, называются уравнениями составного типа. Впервые краевые задачи для таких уравнений были рассмотрены Ж.Адамаром, который в качестве модельного уравнения составного типа предложил уравнения
Сформулируем некоторые наиболее характерные задачи для эллиптических, гиперболических и параболических уравнений.
Пусть граница S области D пространства Еп представляет собой гладкую (п — 1)-мерную гиперповерхность. В дальнейшем под поверхностью в пространстве Еп будем понимать именно (п — 1)-мерную гиперповерхность.
Требуется определить регулярное в области D решение и(х) уравнения Аи = 0, непрерывное в замкнутой области D U S и удовлетворяющее краевому условию
lim и(х) = у (у), хЕ D, у ES, (1)
Х^у
где у —заданная на S действительная непрерывная функция.
Сформулированная задача носит название первой краевой задачи или задачи Дирихле.
регулярного
Обозначим через G область пространства Еп-1 переменных по условиям где у и ^ — заданные в G достаточно гладкие действительные функции, называется задачей Коши. Условия (2) известны под названием начальных условий.
Пусть D — область пространства Еп, ограниченная цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси хп, и двумя плоскостями хп = 0, хп = h, h> 0^ Часть границы области D без верхнего основания хп = h обозначим через S. Требуется найти регулярное в области D решение и(х) уравнения
d2u
~dxf
по краевому условию
lim u(x) = p(y), у E S, x E D
X^y
где ф — заданная на S достаточно гладкая действительная функция. Эта задача называется первой краевой задачей для уравнения (3).
Цель исследования: изучение краевых задач.
Задачи:
- изучить классификацию и приведение к каноническому виду уравнений в частных производных второго порядка;
- использовать классический метод Римана для решения широкого класса задач для уравнений с частными производными;
- исследовать задачу для факторизованного дифференциального уравнения в характеристическом прямоугольнике.
Объект исследования: дифференциальные уравнения с частными производными.
Методы исследования. Используются методы теории уравнений с частными производными.
Структура и объем работы: ВКР состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы. Текст изложен на 42 страницах, включая формулы. В списке литературы содержится 18 наименований.
Купить