Метод конформных отображений

ВВЕДЕНИЕ 3
1. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ.... 6
1.1 Понятие конформного отображения и его основные свойства 6
1.2 Область применения конформных отображений 8
1.3 Основные принципы теории конформных отображений об
отображении одной области на другую 12
1.4 Элементарные функции 19
2.ПРИМЕРЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 35
2.1 Простейшие примеры 35
2.2 Примеры конформных отображений осуществимых основными
элементарными функциями 36
2.2.1 Линейная функция 36
2.2.2 Конформное отображение степенной функции 37
2.2.3 Дробно линейная функция 41
2.3 Применение метода конформных отображений в математической 42
физике
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 47
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Купить

Одним из основных свойств таких простейших геометрических преобразований, как параллельный перенос, поворот, центральная и осевая симметрии, преобразование подобия и гомотетия, является сохранение формы тел и фигур и как следствие - сохранение углов между гладкими кривыми. Подобным свойством обладают также многие другие преобразования, но с той разницей, что свойство сохранения формы выполняется применительно не ко всему телу или фигуре, а лишь к их достаточно малым частям. Более того, при этих преобразованиях, как и при указанных выше простейших преобразованиях, имеет место свойство сохранения углов между кривыми. Такие преобразования, называемые конформными, нашли широкое применение во многих разделах математики и других наук.
Метод конформных отображений является одним из основных методов теории функций комплексного переменного. Этот метод не является новым: впервые этот термин появился в картографической работе Ф.И. Шуберта, академика Российской АН (1788 - 1789 гг.). Независимо от него этот термин ввёл Гаусс в 1843 году.
Первое применение конформного отображения стереографической проекции на плоскость дал Птолемей (около 150 г.). Далее оно встречается у Эйлера в 1777 г., и его Эйлер назвал « подобное в малом».
Лагранж дал теорию конформного отображения поверхностей вращения на плоскость (1779 г.), но только Гаусс дал общую теорию конформных отображений, исходя из теории функций комплексного переменного (1822 г.).
Особая роль в истории конформных отображений принадлежит Риману: он методами физики доказал теорему о том, что все односвязные области расширенной комплексной плоскости с непустыми границами конформно эквивалентны, т.е. каждая из областей этого типа может быть
взаимно однозначно и конформно отображена на любую область этого типа (1851 г.). Строгое математическое обоснование теоремы Римана дали в 1900 г. Д. Г ильберт, А.Пуанкаре, К. Каратеодори.
Велика роль Римана в разработке методов конформных отображений, его геометрический подход и построение римановых поверхностей привлекли всеобщее внимание к методам ТФКП.
Можно отдельно подчеркнуть вклад отечественных ученых в развитие метода конформных отображений.
Жуковский Н.Е. и Чаплыгин С.А. в аэрогидромеханике реальную пространственную задачу свели к плоской задаче и, используя конформные отображения, продемонстрировали исключительную эффективность методов ТФКП. Особенно важна единственность решения этой задачи. Эти идеи остаются основополагающими до сих пор.
Лаврентьев М.А. в 1928 - 1935 гг. исследовал топологические свойства конформных отображений и выделил широкий класс отображений, топологически эквивалентных конформным. Так возникла теория квазиконформных отображений, которая явилась источником новых задач и исследований.
Волковыский Л.И. провёл цикл работ по изучению квазиконформных отображений на римановых поверхностях.
Лаврентьев М.А. разработал вариационные методы теории конформных отображений. В 1938г. с помощью этих методов он получил классические результаты по теории волн.
Лаврентьев М.А. и Келдыш М.В. разработали методами ТФКП теорию движения корабля на подводных крыльях.
Келдыш М.В. в 1939 г. в статье « Конформные отображения многосвязных областей на канонические области» дал важный материал по актуальным вопросам ТФКП.
Канторович Л.В. разработал метод последовательных приближений для конформного отображения круга на односвязную область.
Ведерников В.В. применил метод конформных отображений при расчёте задач фильтрации.
Уже более двух столетий продолжается развитие и использование метода конформных отображений, что доказывает неослабевающую актуальность этого метода, и соответственно актуальность выбранной темы.
Целью выпускной квалификационной работы является изучение и исследование метода конформных отображений.
Задачи исследования:
1) Дать определение конформного отображения и изучить его основные свойства;
2) изучить принципы теории конформных отображений;
3) рассмотреть примеры решения задач с применением
конформных отображений.
Объект исследования функции комплексной переменной.
Предмет исследования - методы конформных отображений.
Выпускная квалификационная работа состоит из двух глав. В первой главе рассматриваются основные принципы конформных отображений, даётся краткое теоретическое раскрытие теории конформных
отображений. Во второй главе рассматриваются конкретные примеры применения конформных отображений к различным функциям комплексного переменного.
Купить