Многие задачи теоретической физики приводят к необходимости решения дифференциальных уравнений в частных производных. Это обусловлено тем, что практически все физические законы, описывающие физические процессы, являются дифференциальными уравнениями относительно некоторых функций, характеризующих эти процессы. Данные физические законы представляют собой теоретическое обобщение многочисленных экспериментов и описывают эволюцию искомых величин в общем случае как в пространстве, так и во времени.
Уравнения в частных производных как правило имеют бесчисленное множество решений. При исследовании конкретной физической задачи необходимо из этих решений выбрать то, которое удовлетворяет некоторым дополнительным условиям, вытекающим из ее физического смысла. Такими дополнительными условиями чаще всего являются так называемые краевые условия, т.е. условия, заданные на границе рассматриваемой среды, и начальные условия, относящиеся к одному какому-нибудь моменту времени, с которого начинается изучение данного физического явления. Начально-краевая задача считается поставленной корректно, если решение задачи существует и единственно. К сожалению, далеко не всегда решение начально-краевой задачи можно выразить в аналитическом виде. Отсюда возникает необходимость в численных методах решения.
Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения дифференциальных уравнений является метод конечных разностей. Он позволяет сводить решение начально-краевой задачи для дифференциального уравнения к решению системы алгебраических уравнений специального вида - разностных уравнений. Для линейных дифференциальных уравнений эта система является линейной и обладает следующими специфическими свойствами:
1) она имеет высокий порядок, равный числу узлов сетки;
2) система плохо обусловлена (отношение максимального собственного значения матрицы системы к минимальному велико);
3) матрица системы является разреженной - в каждой ее строке отлично от нуля несколько элементов, число которых не зависит от числа узлов;
4) ненулевые элементы матрицы расположены специальным образом - матрица является ленточной.
Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных методом конечных разностей проводится в два этапа: 1) разностная аппроксимация дифференциального уравнения на сетке; 2) решение разностных уравнений, представляющих собой системы алгебраических уравнений высокого порядка специального вида.
Для нелинейных дифференциальных уравнений специального вида метод конечных разностей приводит к необходимости решения нелинейных систем алгебраических уравнений. Одним из наиболее эффективных методов решения таких систем является построение базиса Грёбнера для полиномиального идеала, порожденного многочленами этой системы. Тогда все решения системы могут быть найдены из собственных векторов некоторой квадратной матрицы (так вызываемой матрицы действия), порядок которой совпадает с числом решений системы.
В данной работе исследуется возможность численного решения дифференциальных уравнений в частных производных с помощью базисов Грёбнера. Идея состоит в том, чтобы заменить начально-краевую задачу для нелинейного дифференциального уравнения его разностной схемой и затем построить решение полученной алгебраической системы с помощью построения базиса Грёбнера соответствующего полиномиального идеала. В работе представлены результаты применения описанного подхода к решению двух нелинейных уравнений Соболевского типа, а именно, уравнения Хоффа и уравнения Осколкова - Бенджамена - Бона - Махони - Бюргерса.
Рассмотрим еще одну начально-краевую задачу для псевдопараболическо- го уравнения с линейным оператором при производной по времени, а именно уравнение Осколкова - Бенджамена - Бона - Махони - Бюргерса (ОББМБ) с кубическим источником:
— u) + Uxx + UUx + u3 = 0;
u(0, t) = u(%, t) = 0, u(x, 0) = '(x).
Данная задача возникает при исследовании нестационарных процессов в полупроводниках при наличии источников и внешнего постоянного однородного электрического поля [9].
Выберем для простоты равномерную пространственно-временную сетку
Xn = nhx, tm = mht, hx = к/N, ht = 1/M, 0 6 n 6 N, 0 6 m 6 M.
Заменим все пространственные производные разделенными разностями и используем симметричную разделенную разность для аппроксимации первой про-
Расчеты выполнены в пакете Maple для N = M =12. Начальные данные А = 1, а = 2, fi = 2, '(x) = sinях — 0.5sin2^x
странственной и временной производных. В резулвтате получим следующую разностную схему:
fn,m+1 • un+1,m+1 2un,m+1 + un—1,m+1 un+1,m + 2un,m un—1,m
hx(un;m+1 un;m + ht(un+1;m+1 2un;m+1 + un—1,m+1) +
+ hxhtun,m+1 (un+1,m+1 un;m+1) + hxhtun;m+1 — 0
u0,m — uN,m — 0;
1 6 n 6 N; 1 6 m 6 M:
На временном слое m + 1 рассмотрим идеал I — f1m+1;..., fN;m+1) C Q[u1;m+1;:::; uN_ 1 ;m+1 ]. В многочленax fn;m+1, порождающих I, учитывается только краевое условие u0;m+1 — 0.
Зафиксируем мономиалвное упорядочение grevlex с u1;m+1 > ::: > uN-1;m+1 и переменную действия u1;m+1. Построим шаблон исключения, на котором выполняется процесс исключения Жордана-Гаусса для нахождения его редуцированной ступенчатой формы. Из элементов полученной формвх составляется матрица действия. Собственнвхе векторвх данной матрицах дают множество решений схемы (2.3). Наконец, с помощью краевого условияuN;m+1 — 0 из множества решений выбирается единственное решение Un; m+1, для которого погрешность |UN;m+1| принимает наименьшее значение. Далее процедура повторяется на следующем временном слое.
Результаты численного решения задачи (3.3) в пакете Maple приведены на рис. 3.5, рис. 3.6, рис. 3.7 и рис. 3.8. Сплошная черная линия есть график точного решения задачи при t — 1. Синие точки и соединяющая их ломаная отвечают найденным значениям переменных un;M 0 6 n 6 N.
