Введение 4
Глава I. Линейная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения
1.1 Линейные задачи. Общие сведения 6
1.2 Линейные задачи. Функция Грина 10
1.3 Задача Валле-Пуссена (Линейная многоточечная краевая задача) 14
1.4 Однозначная разрешимость простой линейной задачи Валле-Пуссена..16
1.5 Осцилляционный случай в простой линейной задаче Валле-Пуссена 19
1.6 Линейные задачи. Сопряженный оператор 22
1.7 Выводы 24
Глава II. Интегральные уравнения обратной задачи теории динамических измерений
2.1 Функция Г рина 25
2.2 Функция Грина задачи Валле-Пуссена в случае известной
фундаментальной системы решений уравнения L х] = 0 27
2.3 Интегральное уравнение для функции Грина 29
2.4 Некоторые свойства функции Грина многоточечной краевой задачи..33
2.5 Функция Грина вспомогательной задачи 35
2.6 Регуляризация 37
2.6.1 Оценка точности регуляризованного решения 42
2.6.2 Основные расчетные соотношения 44
2.7 Выводы 47
Литература 48
Будем в дальнейшем предполагать, что некоторая динамическая система описывается линейным дифференциальным уравнением n -го порядка
L[ x] = x(n) + an_x(t) x( n-1) +... + a (t) x + a (t) x = u (t) (*)
с непрерывными на временном промежутке [a,b] коэффициентами a(t)’ j = 1’2,...’n— 1, a(t) = 1. Коэффициенты уравнения (*)
предполагаются известными.
Правая часть u(t) уравнения (*) неизвестна и должна быть восстановлена по априорной информации о решении х(t) этого уравнения. Будем предполагать, что априорная информация задается системой функционалов Uk, так, что
U1(x) = U,,o, U2(x) = игя, ... ,U(х) = Usfi . (**)
Здесь x (t) - решение краевой задачи (**) для уравнения (*).
В дальнейшем будем считать, что функционалы Uk линейны и линейно независимы.
В реальной ситуации исследователь располагает значениями (вообще говоря, неточными) Uk 0,k = 1,2,...,s, функционалов Uk.
Задача состоит в отыскании неизвестной правой части u (t) уравнения (*) по наблюденному в эксперименте множеству значений Uk 0, k = 1,2,...,s.
Уже в простейшей ситуации, когда Uk(x) = x(k)(t), k = 0,1,2,...,n — 1, и краевая задача (**) является хорошо изученной задачей Коши, простая подстановка наблюденного (восстановленного) сигнала х(/) в уравнение (*) не дает результата. Следует иметь в виду (и это хорошо известный факт, неоднократно отмечавшийся в литературе), что подобный способ получения функции u (t) неприемлем в силу наличия погрешностей измерения, которые не позволяют адекватно восстановить необходимые для подстановки производные.
Разумным способом решения поставленной задачи является обращение дифференциального оператора (*) - (**) с последующим решением
уравнения Au(t) = x(t), где X(t) решение задачи (*) - (**), полученное с использованием неточно заданных значений Uk 0, k = 1,2,.. .,s
функционалов U .
В некоторых случаях (например [18, 27, 38, 45]), такое обращение возможно, если задача (*) - (**) однозначно разрешима. Обратный оператор A в этой ситуации - как правило, интегральный оператор Фредгольма первого рода
b
x (t) = j G(t ,T)u(r)dr
a
с ядром, определяемым функцией Грина задачи (*) - (**).
Существование и конструирование ядра интегрального уравнения (*) определяется структурой функционалов (**), которые могут быть в конкретной ситуации выбраны различными способами, определяемыми спецификой решаемой задачи.
Необходимо также отметить, что полученное таким образом операторное (в рассматриваемой ситуации - интегральное) уравнение является уравнением первого рода и задача его решения является некорректной по Тихонову А.Н.. Поэтому необходимым элементом его решения должна быть процедура регуляризации.
1. Предполагая фундаментальную систему решений уравнения L(x) — 0 известной и удовлетворяющей условию det || ф.(tj) ||^ 0, можно построить функцию Грина задач (1.1)-(1.11) и, тем самым, сформировать ядро интегрального уравнения, восстанавливающего правую часть u(t) по экспериментально наблюденному сигналу x(t).
2. Vre [a, Л] функция Грина G(t ,r) задачи (1.1)-(1.11) является единственным решением интегрального уравнения
G(t,r) -G2(t,r) — jG(t,s)V(s,r)ds — -^ jG(t,s)ak(s) • ^ G^^ds. г-о Os
a k—0 a
При каждом фиксированном значении t e [a, Л] это уравнение
Фредгольма II рода относительно функции Ф(г) — G(*,T}
ь
Ф(г) - G М = -J Ф( s)V (s, r) ds.
