Тема: ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ ПРОСТОЙ ЗАДАЧИ ВАЛЛЕ-ПУССЕНА

Будем в дальнейшем предполагать, что некоторая динамическая система описывается линейным дифференциальным уравнением n -го порядка
L[ x] = x(n) + an_x(t) x( n-1) +... + a (t) x + a (t) x = u (t) (*)
с непрерывными на временном промежутке [a,b] коэффициентами a(t)’ j = 1’2,...’n— 1, a(t) = 1. Коэффициенты уравнения (*)
предполагаются известными.
Правая часть u(t) уравнения (*) неизвестна и должна быть восстановлена по априорной информации о решении х(t) этого уравнения. Будем предполагать, что априорная информация задается системой функционалов Uk, так, что
U1(x) = U,,o, U2(x) = игя, ... ,U(х) = Usfi . (**)
Здесь x (t) - решение краевой задачи (**) для уравнения (*).
В дальнейшем будем считать, что функционалы Uk линейны и линейно независимы.
В реальной ситуации исследователь располагает значениями (вообще говоря, неточными) Uk 0,k = 1,2,...,s, функционалов Uk.
Задача состоит в отыскании неизвестной правой части u (t) уравнения (*) по наблюденному в эксперименте множеству значений Uk 0, k = 1,2,...,s.
Уже в простейшей ситуации, когда Uk(x) = x(k)(t), k = 0,1,2,...,n — 1, и краевая задача (**) является хорошо изученной задачей Коши, простая подстановка наблюденного (восстановленного) сигнала х(/) в уравнение (*) не дает результата. Следует иметь в виду (и это хорошо известный факт, неоднократно отмечавшийся в литературе), что подобный способ получения функции u (t) неприемлем в силу наличия погрешностей измерения, которые не позволяют адекватно восстановить необходимые для подстановки производные.
Разумным способом решения поставленной задачи является обращение дифференциального оператора (*) - (**) с последующим решением
уравнения Au(t) = x(t), где X(t) решение задачи (*) - (**), полученное с использованием неточно заданных значений Uk 0, k = 1,2,.. .,s
функционалов U .
В некоторых случаях (например [18, 27, 38, 45]), такое обращение возможно, если задача (*) - (**) однозначно разрешима. Обратный оператор A в этой ситуации - как правило, интегральный оператор Фредгольма первого рода
b
x (t) = j G(t ,T)u(r)dr
a
с ядром, определяемым функцией Грина задачи (*) - (**).
Существование и конструирование ядра интегрального уравнения (*) определяется структурой функционалов (**), которые могут быть в конкретной ситуации выбраны различными способами, определяемыми спецификой решаемой задачи.
Необходимо также отметить, что полученное таким образом операторное (в рассматриваемой ситуации - интегральное) уравнение является уравнением первого рода и задача его решения является некорректной по Тихонову А.Н.. Поэтому необходимым элементом его решения должна быть процедура регуляризации. 

Купить

1. Предполагая фундаментальную систему решений уравнения L(x) — 0 известной и удовлетворяющей условию det || ф.(tj) ||^ 0, можно построить функцию Грина задач (1.1)-(1.11) и, тем самым, сформировать ядро интегрального уравнения, восстанавливающего правую часть u(t) по экспериментально наблюденному сигналу x(t).
2. Vre [a, Л] функция Грина G(t ,r) задачи (1.1)-(1.11) является единственным решением интегрального уравнения
G(t,r) -G2(t,r) — jG(t,s)V(s,r)ds — -^ jG(t,s)ak(s) • ^ G^^ds. г-о Os
a k—0 a
При каждом фиксированном значении t e [a, Л] это уравнение
Фредгольма II рода относительно функции Ф(г) — G(*,T}
ь
Ф(г) - G М = -J Ф( s)V (s, r) ds.

Купить