Помощь студентам в учебе
ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ХОФФА С НАЧАЛЬНО-КОНЕЧНЫМ УСЛОВИЕМ
|
ВВЕДЕНИЕ 4
1. АБСТРАКТНАЯ СХЕМА 10
1.1. Относительно ограниченные операторы 10
1.2. Голоморфные вырожденные группы операторов 12
1.3. Относительно спектральные проекторы 17
1.4. Многоточечная начально-конечная задача 20
2. МОДЕЛЬ ХОФФА 22
2.1. Вывод уравнения Хоффа 22
2.2. Линейная модель Хоффа на графе 24
2.3. Линейная модель Хоффа в области 27
2.4. Примеры 29
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 41
ОБОЗНАЧЕНИЯ 42
1. АБСТРАКТНАЯ СХЕМА 10
1.1. Относительно ограниченные операторы 10
1.2. Голоморфные вырожденные группы операторов 12
1.3. Относительно спектральные проекторы 17
1.4. Многоточечная начально-конечная задача 20
2. МОДЕЛЬ ХОФФА 22
2.1. Вывод уравнения Хоффа 22
2.2. Линейная модель Хоффа на графе 24
2.3. Линейная модель Хоффа в области 27
2.4. Примеры 29
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 41
ОБОЗНАЧЕНИЯ 42
Развитие сверхзвуковой авиации обусловило необходимость исследования математическими методами вопросов устойчивости упругих систем при высоких температурах. С одной стороны, аэродинамический нагрев приводит к образованию неравномерного поля температур в конструкции летательного аппарата. При этом возможно появление некоторых, например, температурных напряжений, хотя это не всегда влияет на прочности конструкции, поскольку они могут «рассасываются» по мере развития деформации. Помимо температурных напряжений при высоких температурах проявляется ползучесть материалов конструкции, например, стали, дю- ралюмина, титановых сплавов. Эта ползучесть может привести к потере устойчивости сжатых элементов при напряжениях. Малозаметная деформация сжатого стержня по истечении определенного периода завершается резким выпучиванием. Таким образом данная работа посвящена некоторым вопросам выпучивания упругих систем.
Постановка задачи. Рассмотрим уравнение Хоффа [33]
(А + A)ut = au + flu3 + f, (0.0.1)
которое моделирует выпучивание двутавровой балки, находящейся под постоянной нагрузкой при высоких температурах. Параметры a, fl 2 R характеризуют свойства материала балки, а параметр А 2 R+ характеризует нагрузку. Функция u = u(x,t), (x,t) 2 Q х R, характеризует отклонение балки от вертикали (u = 0), Q С Rm - ограниченная область с границей дQ класса C 1.
В настоящее время внимание многих исследователей привлекает линейная модель Хоффа
(А + A)ut = au + f, (0.0.2)
рассмотренная на множествах различной геометрической структуры. Интерес к уравнениям соболевского типа [4, 11, 13, 32, 48] (к которым безусловно относятся уравнения (0.0.1), (0.0.2)) инспирирован новым классом задач, к обсуждению которых мы переходим. Прежде всего в подходящих функциональных пространствах редуцируем (0.0.2) к абстрактному линейному уравнению соболевского типа вида
Lu = Mu + f, (0.0.3)
как это делается, например, в [19, 21, 29]. Затем в предположении, что свободный член f = f (t) определен на интервале I = (a, b), —1 < a < b < +1, будем искать (классическое) решение уравнения (0.0.3), удовлетворяющее многоточечному начально-конечному условию [46].
Pj(u(rj) — Uj) = 0, j = 0, n, (0.0.4)
Здесь rj 2 I (rj < rj+1), Uj 2 U, Pj - относительно спектральные проекторы (которые будут определены позже), а Uj - произвольные векторы из банахова пространства U.
Историография вопроса. Теория задач упругой устойчивости началась с решений задач ползучести для колонн Л. Эйлером [1]. Исследования Эйлера показали, что критическая продольная нагрузка зависит от высоты колонны, условий, заданных на ее концах, модуля эластичности материала и момента инерции поперечного сечения, но не зависит от формы поперечного сечения. Фон Карманом было показано, что когда равномерная сжимающая нагрузка, под действием которой прямая и центрированная балка изгибается, превышает предел эластичности, форма поперечного сечения дает влияние на критическую продольную нагрузку, и это влияние усиливается в случае, когда колонна не совершенно прямая в ее естественных условиях до применения нагрузки. Со времен экспериментов Кармана стало обыкновением использовать сплошные колонны с прямоугольным сечением в экспериментальных и теоретических работах в упругом и неупругом случаях. От этой практики отклонились только недавно, когда стал развиваться значительный интерес в отношении изгиба балок из-за ползучести. Сильно нелинейные законы ползучести приводят к трудным задачам для колонн с прямоугольным сечением, в то время как задачи для колонн с идеализированным I-сечением значительно проще. Так как колонны, используемые в строительной инженерии, в общем случае более близки к свойствам идеальной I-балки, чем к колоннам с прямоугольным сечением, то их исследование является более ценным. Трактовка обычной задачи упруго-пластичной ползучести также основывается на предположении, что поперечное сечение - идеальная I-балка. Эти исследования были широко развиты в работах Н. Дж. Хоффа, в них были установлены интересные и очень простые физические и механические соотношения, которые могут быть открыты в теории эластично-пластичной ползучести в случае предположения, что сечение колонны - идеализированное I-сечение. В 60-х годах Н. Дж. Хоффом было получено уравнение, впоследствии названное уравнением Хоффа [2].
Начально-краевые задачи для уравнения Хоффа (0.0.1) в ограниченной области Q впервые были изучены Н.А. Сидоровым [23] и его учениками [24, 25], причем в [24, 25] был отмечен феномен несуществования решений этих задач при произвольных начальных данных. Изучение множества начальных значений, обеспечивающих существование и единственность решения задач Коши - Дирихле для уравнения (0.0.1), было проведено в [15]. В [19] показано, что это множество, понимаемое как фазовое пространство уравнения (0.0.1), является простым банаховым C1 -многообразием, если а • fl > 0. В [20] показано, что если а • fl < 0, то фазовое пространство уравнения (0.0.1) уже не будет простым - оно лежит на сборке Уитни. Первым уравнения Хоффа на графе с условием Коши начал изучать Г.А. Свиридюк [18] совместно с В.В. Шеметовой [21]. Им удалось дать полное описание фазового пространства на геометрическом графе. В дальнейшем на графах была решена обратная задача для уравнения Хоффа [22]. Кроме того, были проведены исследования устойчивости решений задачи Коши уравнений Хоффа и получены достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости решений задачи Коши для уравнений Хоффа в области и на геометрическом графе [41]. Оптимальное управление решениями уравнения Хоффа было изучено Н.А. Манаковой и ее учениками (см. например [10]).
Численное исследование неавтономного уравнения Хоффа на геометрическом графе с условием Шоуолтера - Сидорова было проведено в [31]. Стохастическое уравнение Хоффа на геометрическом графе с начально-конечным условием было изучено в [26].
Перейдем теперь к обсуждению многоточечной начально-конечной задачи для уравнения соболевского типа. Впервые задача (0.0.4) была сформулирована в [42] (см. обзор [43]). Заметим, что если n = 1, то (0.0.4) становится более простой задачей
Ро(и(го) - U0) = P1 (U(TI) - U1) = 0, (0.0.5)
которая в [40] названа начально-конечной. Задача (0.0.3), (0.0.5) в последнее время весьма активно изучается в различных аспектах [5, 6, 10, 30, 43]. Если же в (0.0.4) положить n = 0, то задача (0.0.4) редуцируется к обобщенной задаче Шоуолтера - Сидорова [14]
P0(u(T0) - U0) = 0; (0.0.6)
которая уже сыграла важную роль в численных исследованиях экономических [9] и технических [28] моделей. Отметим еще, что задача (0.0.6) является обобщением классической задачи Коши (см. обзоры [40, 47])
и(т0) = U0.
Сказанное выше позволяет задачу (0.0.4) для уравнения (0.0.3) считать последовательным (через (0.0.5) и (0.0.6)) обобщением задачи Коши. Поскольку в дальнейшем будет изучаться задача (0.0.4) для уравнения (0.0.3), то скажем несколько слов о ситуации, в которой она возникла. Представим, что некоторый объект, например, конструкция из двутавровых балок, движется в околоземном пространстве. С поверхности Земли в различные моменты времени тк, k = 0,1, можно наблюдать только проекции этого объекта. Многоточечная начально-конечная задача (0.0.4) задает только те проекции этого объекта из возможных, которые определены создателем этой конструкции.
Данная работа посвящена изучению разрешимости задачи (0.0.3), (0.0.4) при любом n 2 N. Для этого подробно доказывается обобщенная теорема о расщеплении пространств U и F на инвариантные подпространства операторов L и M линейного уравнения соболевского типа с относительно p-ограниченным оператором в соответствии с расщеплением относительного спектра. Необходимость в обобщенной теореме о расщеплении возникла при изучении многоточечных начально-конечных условий (0.0.4).
Как известно, теорему о расщеплении в случае (L,p)-ограниченного и ^,р)-секториального операторов M первым сформулировал и доказал Г.А. Свиридюк [16]. А.В. Келлер эти результаты были развиты в [8], и применены к исследованию дихотомий решений [17]. Теорема о расщеплении в случае (L,p)-радиального оператора M применительно к дихотомиям решений появилась, например, в [12]. Впервые краткое доказательство обобщенной теоремы о расщеплении в случае (L,p)-ограниченного оператора M появилось в [42]. Случаи ^,р)-секториального и (L,p)-радиального операторов M рассмотрены соответственно в [44], [45].
Краткое содержание. Кроме введения, заключения и списка литературы работа содержит две главы. Список литературы не претендует на полноту и отражает лишь вкусы и пристрастия автора. Первая глава является пропедевтической, в ней приводятся необходимые сведения теории (L,p)- ограниченных операторов и голоморфных вырожденных групп операторов, предложенной Г.А. Свиридюком [16] и развитой его учениками. Основные положения этой теории адаптированы к нашей ситуации. Здесь же содержится доказательство обобщенной теоремы о расщеплении в случае (L,p)- ограниченного оператора M, а так же доказательство однозначной разрешимости многоточечной начально-конечной задачи для уравнения соболевского типа в случае (L,p)-ограниченности оператора M. Результаты первой главы опубликованы в [46].
Во второй главе работы исследуется разрешимость многоточечной начально-конечной задачи для линейного уравнения Хоффа (0.0.2), заданного в ограниченной области и на конечном связном ориентированном графе.
В первом параграфе приводится вывод уравнения Хоффа (0.0.1), почерпнутый из работ Н. Хоффа [?], из монографии [2], а также из работы [1]. Результаты второй главы опубликованы в [42, 49, 50]. В заключении второй главы приводится конкретный пример решения многоточечной начальноконечной задачи на двухреберном графе, для чего используются сведения из [7] о решении задачи Штурма - Лиувилля на двухреберном графе. Кроме того, приведен пример решения многоточечной начально-конечной задачи для уравнения Хоффа в прямоугольной области.
Благодарности. В заключение автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю признательность своему Учителю профессору Георгию Анатольевичу Свиридюку за чуткое руководство и стимулирующие дискуссии. Автор так же выражает огромную благодарность директору Института естественных и точных наук Южно-Уральского государственного университета Келлер Алевтине Викторовне за организационную поддержку. Кроме того, автор благодарна коллективу кафедр уравнений математической физики и математического и компьютерного моделирования ЮжноУральского государственного университета за конструктивную критику, а так же моим близким за веру и терпение.
Постановка задачи. Рассмотрим уравнение Хоффа [33]
(А + A)ut = au + flu3 + f, (0.0.1)
которое моделирует выпучивание двутавровой балки, находящейся под постоянной нагрузкой при высоких температурах. Параметры a, fl 2 R характеризуют свойства материала балки, а параметр А 2 R+ характеризует нагрузку. Функция u = u(x,t), (x,t) 2 Q х R, характеризует отклонение балки от вертикали (u = 0), Q С Rm - ограниченная область с границей дQ класса C 1.
В настоящее время внимание многих исследователей привлекает линейная модель Хоффа
(А + A)ut = au + f, (0.0.2)
рассмотренная на множествах различной геометрической структуры. Интерес к уравнениям соболевского типа [4, 11, 13, 32, 48] (к которым безусловно относятся уравнения (0.0.1), (0.0.2)) инспирирован новым классом задач, к обсуждению которых мы переходим. Прежде всего в подходящих функциональных пространствах редуцируем (0.0.2) к абстрактному линейному уравнению соболевского типа вида
Lu = Mu + f, (0.0.3)
как это делается, например, в [19, 21, 29]. Затем в предположении, что свободный член f = f (t) определен на интервале I = (a, b), —1 < a < b < +1, будем искать (классическое) решение уравнения (0.0.3), удовлетворяющее многоточечному начально-конечному условию [46].
Pj(u(rj) — Uj) = 0, j = 0, n, (0.0.4)
Здесь rj 2 I (rj < rj+1), Uj 2 U, Pj - относительно спектральные проекторы (которые будут определены позже), а Uj - произвольные векторы из банахова пространства U.
Историография вопроса. Теория задач упругой устойчивости началась с решений задач ползучести для колонн Л. Эйлером [1]. Исследования Эйлера показали, что критическая продольная нагрузка зависит от высоты колонны, условий, заданных на ее концах, модуля эластичности материала и момента инерции поперечного сечения, но не зависит от формы поперечного сечения. Фон Карманом было показано, что когда равномерная сжимающая нагрузка, под действием которой прямая и центрированная балка изгибается, превышает предел эластичности, форма поперечного сечения дает влияние на критическую продольную нагрузку, и это влияние усиливается в случае, когда колонна не совершенно прямая в ее естественных условиях до применения нагрузки. Со времен экспериментов Кармана стало обыкновением использовать сплошные колонны с прямоугольным сечением в экспериментальных и теоретических работах в упругом и неупругом случаях. От этой практики отклонились только недавно, когда стал развиваться значительный интерес в отношении изгиба балок из-за ползучести. Сильно нелинейные законы ползучести приводят к трудным задачам для колонн с прямоугольным сечением, в то время как задачи для колонн с идеализированным I-сечением значительно проще. Так как колонны, используемые в строительной инженерии, в общем случае более близки к свойствам идеальной I-балки, чем к колоннам с прямоугольным сечением, то их исследование является более ценным. Трактовка обычной задачи упруго-пластичной ползучести также основывается на предположении, что поперечное сечение - идеальная I-балка. Эти исследования были широко развиты в работах Н. Дж. Хоффа, в них были установлены интересные и очень простые физические и механические соотношения, которые могут быть открыты в теории эластично-пластичной ползучести в случае предположения, что сечение колонны - идеализированное I-сечение. В 60-х годах Н. Дж. Хоффом было получено уравнение, впоследствии названное уравнением Хоффа [2].
Начально-краевые задачи для уравнения Хоффа (0.0.1) в ограниченной области Q впервые были изучены Н.А. Сидоровым [23] и его учениками [24, 25], причем в [24, 25] был отмечен феномен несуществования решений этих задач при произвольных начальных данных. Изучение множества начальных значений, обеспечивающих существование и единственность решения задач Коши - Дирихле для уравнения (0.0.1), было проведено в [15]. В [19] показано, что это множество, понимаемое как фазовое пространство уравнения (0.0.1), является простым банаховым C1 -многообразием, если а • fl > 0. В [20] показано, что если а • fl < 0, то фазовое пространство уравнения (0.0.1) уже не будет простым - оно лежит на сборке Уитни. Первым уравнения Хоффа на графе с условием Коши начал изучать Г.А. Свиридюк [18] совместно с В.В. Шеметовой [21]. Им удалось дать полное описание фазового пространства на геометрическом графе. В дальнейшем на графах была решена обратная задача для уравнения Хоффа [22]. Кроме того, были проведены исследования устойчивости решений задачи Коши уравнений Хоффа и получены достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости решений задачи Коши для уравнений Хоффа в области и на геометрическом графе [41]. Оптимальное управление решениями уравнения Хоффа было изучено Н.А. Манаковой и ее учениками (см. например [10]).
Численное исследование неавтономного уравнения Хоффа на геометрическом графе с условием Шоуолтера - Сидорова было проведено в [31]. Стохастическое уравнение Хоффа на геометрическом графе с начально-конечным условием было изучено в [26].
Перейдем теперь к обсуждению многоточечной начально-конечной задачи для уравнения соболевского типа. Впервые задача (0.0.4) была сформулирована в [42] (см. обзор [43]). Заметим, что если n = 1, то (0.0.4) становится более простой задачей
Ро(и(го) - U0) = P1 (U(TI) - U1) = 0, (0.0.5)
которая в [40] названа начально-конечной. Задача (0.0.3), (0.0.5) в последнее время весьма активно изучается в различных аспектах [5, 6, 10, 30, 43]. Если же в (0.0.4) положить n = 0, то задача (0.0.4) редуцируется к обобщенной задаче Шоуолтера - Сидорова [14]
P0(u(T0) - U0) = 0; (0.0.6)
которая уже сыграла важную роль в численных исследованиях экономических [9] и технических [28] моделей. Отметим еще, что задача (0.0.6) является обобщением классической задачи Коши (см. обзоры [40, 47])
и(т0) = U0.
Сказанное выше позволяет задачу (0.0.4) для уравнения (0.0.3) считать последовательным (через (0.0.5) и (0.0.6)) обобщением задачи Коши. Поскольку в дальнейшем будет изучаться задача (0.0.4) для уравнения (0.0.3), то скажем несколько слов о ситуации, в которой она возникла. Представим, что некоторый объект, например, конструкция из двутавровых балок, движется в околоземном пространстве. С поверхности Земли в различные моменты времени тк, k = 0,1, можно наблюдать только проекции этого объекта. Многоточечная начально-конечная задача (0.0.4) задает только те проекции этого объекта из возможных, которые определены создателем этой конструкции.
Данная работа посвящена изучению разрешимости задачи (0.0.3), (0.0.4) при любом n 2 N. Для этого подробно доказывается обобщенная теорема о расщеплении пространств U и F на инвариантные подпространства операторов L и M линейного уравнения соболевского типа с относительно p-ограниченным оператором в соответствии с расщеплением относительного спектра. Необходимость в обобщенной теореме о расщеплении возникла при изучении многоточечных начально-конечных условий (0.0.4).
Как известно, теорему о расщеплении в случае (L,p)-ограниченного и ^,р)-секториального операторов M первым сформулировал и доказал Г.А. Свиридюк [16]. А.В. Келлер эти результаты были развиты в [8], и применены к исследованию дихотомий решений [17]. Теорема о расщеплении в случае (L,p)-радиального оператора M применительно к дихотомиям решений появилась, например, в [12]. Впервые краткое доказательство обобщенной теоремы о расщеплении в случае (L,p)-ограниченного оператора M появилось в [42]. Случаи ^,р)-секториального и (L,p)-радиального операторов M рассмотрены соответственно в [44], [45].
Краткое содержание. Кроме введения, заключения и списка литературы работа содержит две главы. Список литературы не претендует на полноту и отражает лишь вкусы и пристрастия автора. Первая глава является пропедевтической, в ней приводятся необходимые сведения теории (L,p)- ограниченных операторов и голоморфных вырожденных групп операторов, предложенной Г.А. Свиридюком [16] и развитой его учениками. Основные положения этой теории адаптированы к нашей ситуации. Здесь же содержится доказательство обобщенной теоремы о расщеплении в случае (L,p)- ограниченного оператора M, а так же доказательство однозначной разрешимости многоточечной начально-конечной задачи для уравнения соболевского типа в случае (L,p)-ограниченности оператора M. Результаты первой главы опубликованы в [46].
Во второй главе работы исследуется разрешимость многоточечной начально-конечной задачи для линейного уравнения Хоффа (0.0.2), заданного в ограниченной области и на конечном связном ориентированном графе.
В первом параграфе приводится вывод уравнения Хоффа (0.0.1), почерпнутый из работ Н. Хоффа [?], из монографии [2], а также из работы [1]. Результаты второй главы опубликованы в [42, 49, 50]. В заключении второй главы приводится конкретный пример решения многоточечной начальноконечной задачи на двухреберном графе, для чего используются сведения из [7] о решении задачи Штурма - Лиувилля на двухреберном графе. Кроме того, приведен пример решения многоточечной начально-конечной задачи для уравнения Хоффа в прямоугольной области.
Благодарности. В заключение автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю признательность своему Учителю профессору Георгию Анатольевичу Свиридюку за чуткое руководство и стимулирующие дискуссии. Автор так же выражает огромную благодарность директору Института естественных и точных наук Южно-Уральского государственного университета Келлер Алевтине Викторовне за организационную поддержку. Кроме того, автор благодарна коллективу кафедр уравнений математической физики и математического и компьютерного моделирования ЮжноУральского государственного университета за конструктивную критику, а так же моим близким за веру и терпение.
Таким образом, в первой главе Таким образом, в первой главе приводится алгоритм решения многоточечной начально-конечной задачи для уравнений соболевского типа с (L,p)- ограниченным оператором M. Полученный алгоритм применяется для исследования конкретных детерминированных вырожденных моделей соответствующего класса. А именно, в работе доказывается однозначная разрешимость уравнения Хоффа в области, а также уравнения Хоффа на графе с многоточечными начально-конечными условиями. Полученные результаты иллюстрируются конкретными примерами.
В дальнейшем, полученные результаты можно применять при разработке численных методов решения уравнений Хоффа в области и на графе с многоточечными начально-конечными условиями. Кроме того, полученные результаты могут быть применены для исследования вырожденных моделей Хоффа на графе с «белым шумом».
Полученный алгоритм применяется для исследования конкретных детерминированных вырожденных моделей соответствующего класса. А именно, в работе доказывается однозначная разрешимость уравнения Хоффа в области, а также уравнения Хоффа на графе с многоточечными начально-конечными условиями. Полученные результаты иллюстрируются конкретными примерами.
В дальнейшем, полученные результаты можно применять при разработке численных методов решения уравнений Хоффа в области и на графе с многоточечными начально-конечными условиями. Кроме того, полученные результаты могут быть применены для исследования вырожденных моделей Хоффа на графе с «белым шумом».
В дальнейшем, полученные результаты можно применять при разработке численных методов решения уравнений Хоффа в области и на графе с многоточечными начально-конечными условиями. Кроме того, полученные результаты могут быть применены для исследования вырожденных моделей Хоффа на графе с «белым шумом».
Полученный алгоритм применяется для исследования конкретных детерминированных вырожденных моделей соответствующего класса. А именно, в работе доказывается однозначная разрешимость уравнения Хоффа в области, а также уравнения Хоффа на графе с многоточечными начально-конечными условиями. Полученные результаты иллюстрируются конкретными примерами.
В дальнейшем, полученные результаты можно применять при разработке численных методов решения уравнений Хоффа в области и на графе с многоточечными начально-конечными условиями. Кроме того, полученные результаты могут быть применены для исследования вырожденных моделей Хоффа на графе с «белым шумом».
