ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

Введение 4
1. Численное решение коэффициентной обратной задачи 7
1.1 Постановка задачи 7
1.2 Сведение обратной задачи к прямой 8
1.3 Восстановление исходных функций 10
1.4 Метод решения 14
1.5 Разностная аппроксимация 14
1.6 Результаты вычислений 17
1.7 Исследование на устойчивость 19
Заключение 21
Список использованных источников 22
Приложение

Купить

При обработке данных натурных экспериментов по дополнительным измерениям делается вывод о внутренних связях явления или процесса. В условиях, когда структура математической модели исследуемого процесса известна, можно ставить проблему идентификации математической модели, например, определение коэффициентов дифференциального уравнения. Такие задачи относятся к классу обратных задач математической физики.
В математической физике под прямыми задачами обычно понимают задачи моделирования, где требуется найти функцию, описывающую физическое поле или процесс в каждой точке исследуемой области и в каждый момент времени (если поле нестационарное). Для решения прямой задачи задаются:
1. область, в которой процесс изучается;
2. уравнение, описывающее данный процесс;
3. начальные условия (если процесс нестационарный);
4. условия на границе исследуемой области.
К обратным задачам относятся задачи, в которых необходимо определить не только основные неизвестные, но и некоторые недостающие параметры задачи и (или) условия (некоторые компоненты математической модели) при некоторой дополнительной информации о решении поставленных задач.[2]
Выделим коэффициентные обратные задачи, которые характеризуются тем, что коэффициенты уравнения или (и) правая часть неизвестны. В качестве примера рассмотрим параболическое уравнение
^=-h(k(-x)iE) + f(-x't'>'0 Простейшая прямая задача состоит в нахождении функции и(х, t), удовлетворяющей уравнению (1) и условиям 
u(x, 0) = u0(x), 0 < X < I.
В прикладных проблемах часто свойства среды неизвестны, и их нужно определять. В данном случае можно поставить задачу идентификации коэффициента^ (%). Характерной является задача для уравнения (1) по нахождению пары неизвестных {и (х, t),k(x)}. Основная особенность рассматриваемой обратной задачи состоит в нелинейности коэффициентной обратной задачи.[2]
Можно выделить как самостоятельную задачу определения неизвестной правой части f(x, t)параболического уравнения (1). Более частные постановки связаны, например, с выбором зависимости
f(x,t) = a(t)fi(x).
Интерес может представлять неизвестная зависимость источника (правой части) от времени при известном распределении по пространству - в представлении (4) функция a(t) неизвестна, а функция^ (¥) задана. [2] Для решения обратных задач необходима дополнительная информация (необходимо задавать так называемые условия переопределения).
Пусть, например, рассматривается обратная задача (1) - (4) по нахождению пары функций {и(х, t), a(t)}. Помимо решения краевой задачинужно найти зависимость от времени правой части. В этом случае дополнительная информация может иметь вид
и(х*, t) = ty(t), 0 <х* <1,0 т.е. известно решение на каждый момент времени не только на границе, но и в некоторой внутренней точке расчетной области.
При рассмотрении обратных задач особое внимание должно уделяться проблемам единственности решения обратной задачи. Особенно это важно при рассмотрении нелинейных задач.[2]
Построению решений коэффициентных обратных задач посвящен ряд работ, в частности[1, 2, 6, 7, 8].
В данной бакалаврской работе численно решена коэффициентная обратная задача для уравнения параболического типа с неизвестной функцией источника и дополнительными условиями переопределения.Предложен алгоритм сведения обратной задачи к прямой. Полученная прямая задача неклассическая, нелинейная, с нелокальными начальными данными. Предложен алгоритм численного решения поставленной обратной задачи, создан программный продукт, проведены вычислительные эксперименты.

Купить