ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ШОУОЛТЕРА - СИДОРОВА ДЛЯ МОДЕЛИ ХОФФА

АННОТАЦИЯ 2
Введение 4
1. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ХОФФА 7
1.1. Элементы функционального анализа
в построении и исследовании математической модели 7
1.2. Построение модели деформации двутавровой балки 10
1.2. Построение и исследование математической модели
деформации двутавровой балки 13
1.3. Построение фазового многообразия 15
1.4. Неединственность решений задачи Шоуолтера - Сидорова 17
1.4.1. Неединственность решений задачи Шоуолтера - Сидорова
при dim ker L =1 17
1.4.2. Неединственность решений задачи Шоуолтера - Сидорова
при dim ker L = 2 19
1.5. Выводы по первой главе 22
2. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ХОФФА 23
2.1. Алгоритм численного решения задачи Шоуолтера - Сидорова ... 23
2.2. Описание программы 26
2.3. Вычислительные эксперименты 31
2.4. Выводы по второй главе 40
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 41
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 42

Купить

Обширный класс моделей математической физики основан на полулинейных неклассических уравнениях или системах уравнений в частных производных, неразрешенных относительно производной по времени,
Lu = Mu + N(u), ker L = {0} (0.1)
которые принято называть уравнениями соболевского типа. Уравнения представленного класса и начальные задачи для них не удается исследовать классическими методами в следствие возможного вырождения оператора при старшей производной, поэтому для их исследования требуется развитие новых и модификация уже известных методов исследования [1-5]. Пусть Q с Rn - ограниченная область с границей класса C1. Рассмотрим модель Хоффа [6]
(ц + A)ut = au + Ди3, x 2 Q, t 2 (0, T), (0.2)
с краевым условием Дирихле
u(x,t) = 0, (x,t) 2 @Q x (0,T), (0.3)
и начальным условием Шоуолтера - Сидорова
(ц + A) (u(x, 0) — u0(x)) = 0, x 2 Q. (0.4)
Модель Хоффа описывает динамику деформации двутавровой балки. Неизвестная функция u = u(x, t), x 2 Q, t 2 (0, T), имеет физический смысл отклонения балки от положения равновесия. Параметр ц 2 R характеризует продольную нагрузку на балку, а параметры а, Д 2 R характеризуют свойства материала балки.
Целью работы является исследование неединственности решения задачи Шоуолтера - Сидорова для математической модели деформации двутавровой балки в случае n = 2. Для достижения поставленной цели необходимо реализовать следующие задачи:
1) исследовать математическую модель Хоффа;
2) найти условия, накладываемые на параметры уравнения, при которых существует несколько решений задачи Шоуолтера - Сидорова в случае размерности ядра оператора при производной по времени равного 1 или 2;
3) разработать алгоритм численного метода нахождения решения задачи Шоуолтера - Сидорова для модели Хоффа в случае неединственности решений;
4) разработать и реализовать программу нахождения численного решения задачи Шоуолтера - Сидорова для модели Хоффа. Провести ряд вычислительных экспериментов, иллюстрирующих разработанный численный метод.
Одним из первых начально-краевую задачу для уравнения (0.2) начал изучать Н.А. Сидоров [11]. В этой работе была отмечена принципиальная неразрешимость задачи Коши (u(x, 0) — u0(x) = 0) при произвольном начальном значении в случаю вырожденности уравнения (0.2). Рассмотрение условия Шоуолтера
- Сидорова [12]
L (u(x, 0) — u0(x)) = 0 (0.5)
для уравнения (0.1) позволяет избежать трудностей решения задачи Коши, однако возможна неединственность решения задачи (0.2) - (0.4) [14].
Вопросам изучения неединственности решений уравнений и систем уравнений, сводящихся к полулинейным уравнениям вида (0.1), с условием Шоуолтера
- Сидорова (0.5) и связи неединственности решения с существованием в фазовом пространстве уравнения (0.1) сборок и складок Уитни были посвящены следующие работы: Т.А. Бокаревой и Г.А. Свиридюком для модели распространения нервного импульса в мембране и для модели автокаталитиче ской реакции с диффузией показано существование 2-сборки Уитни и 1-сборки Уитни соответственно [15], А.Ф. Гильмутдиновой для математической модели Плотникова были выявлены условия существования неединственности решения [16].
Г.А. Свиридюком и его учениками был разработан метод фазового пространства [1,13], основанный на изучении морфологии множества допустимых начальных значений
B = fu 2 U : (I -Q) (Mu + N(u)) = 0}, (0.6)
понимаемого как фазовое пространство уравнения (0.1). В случае когда фазовое пространство модели (0.2), (0.3) имеет особенности возникает неединственность решения задачи Шоуолтера - Сидорова, а из простоты фазового пространства модели (0.2), (0.3) следует единственность решения. В работе [17] было показано, что фазовое пространство уравнения (0.2) является простым банаховым C1 -многообразием в случае а@ > 0, в случае а@ < 0 фазовое пространство уравнения (0.2) может содержать 2-сборку Уитни [18]. В [19] были найдены условия на параметры а,^, при которых фазовое пространство уравнения (0.2) имеет особенности в случае dim кег(ц + А) = 1 при n = 1.
Поскольку работа помимо теоретических исследований содержит также результаты вычислительных экспериментов, здесь необходимо упомянуть метод Галеркина, положенный в основу вычислительных экспериментов. Получение аналитического решения уравнений соболевского типа (0.1) не всегда возможно, поэтому построение алгоритмов численных методов изучаемые проблемы востребованы. В случае вырождающихся полулинейных уравнений метод Галеркина является наиболее подходящим, так как позволяет учесть вырождение уравнения для некоторых параметров. Используя метод Галеркина, строятся приближенные решения задачи, коэффициенты которых удовлетворяют системе алгебро-дифференциальных уравнений с соответствующими начальными условиями [20-22].
Работа, кроме введения и списка литературы, содержит две главы. В первой главе приводится аналитическое исследование модели Хоффа. В п.1 приведены элементы функционального анализа, используемые в построении и исследовании математической модели. В п.2 приводится вывод уравнения Хоффа. В п.3 представлена редукция задачи (0.2) - (0.4) к абстрактной задаче (0.1), (0.5) и ее исследование, в п.4 проводится построение фазового многообразия, в п.5 найдены условия накладываемых на параметры а, 0, при которых фазовое пространство имеет особенности и существует несколько решений задачи Шоуолтера - Сидорова при dimker(^ + А) = 1 и dimker(^ + А) = 2 в случае n = 2. Во второй главе содержится численное исследование модели Хоффа. В п.1 описывается алгоритм численного метода, в п.2 приводится описание программы, а в п.3 приведены результаты вычислительных экспериментов.

Купить