Тема: ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ШОУОЛТЕРА - СИДОРОВА ДЛЯ МОДЕЛИ ХОФФА

Обширный класс моделей математической физики основан на полулинейных неклассических уравнениях или системах уравнений в частных производных, неразрешенных относительно производной по времени,
Lu = Mu + N(u), ker L = {0} (0.1)
которые принято называть уравнениями соболевского типа. Уравнения представленного класса и начальные задачи для них не удается исследовать классическими методами в следствие возможного вырождения оператора при старшей производной, поэтому для их исследования требуется развитие новых и модификация уже известных методов исследования [1-5]. Пусть Q с Rn - ограниченная область с границей класса C1. Рассмотрим модель Хоффа [6]
(ц + A)ut = au + Ди3, x 2 Q, t 2 (0, T), (0.2)
с краевым условием Дирихле
u(x,t) = 0, (x,t) 2 @Q x (0,T), (0.3)
и начальным условием Шоуолтера - Сидорова
(ц + A) (u(x, 0) — u0(x)) = 0, x 2 Q. (0.4)
Модель Хоффа описывает динамику деформации двутавровой балки. Неизвестная функция u = u(x, t), x 2 Q, t 2 (0, T), имеет физический смысл отклонения балки от положения равновесия. Параметр ц 2 R характеризует продольную нагрузку на балку, а параметры а, Д 2 R характеризуют свойства материала балки.
Целью работы является исследование неединственности решения задачи Шоуолтера - Сидорова для математической модели деформации двутавровой балки в случае n = 2. Для достижения поставленной цели необходимо реализовать следующие задачи:
1) исследовать математическую модель Хоффа;
2) найти условия, накладываемые на параметры уравнения, при которых существует несколько решений задачи Шоуолтера - Сидорова в случае размерности ядра оператора при производной по времени равного 1 или 2;
3) разработать алгоритм численного метода нахождения решения задачи Шоуолтера - Сидорова для модели Хоффа в случае неединственности решений;
4) разработать и реализовать программу нахождения численного решения задачи Шоуолтера - Сидорова для модели Хоффа. Провести ряд вычислительных экспериментов, иллюстрирующих разработанный численный метод.
Одним из первых начально-краевую задачу для уравнения (0.2) начал изучать Н.А. Сидоров [11]. В этой работе была отмечена принципиальная неразрешимость задачи Коши (u(x, 0) — u0(x) = 0) при произвольном начальном значении в случаю вырожденности уравнения (0.2). Рассмотрение условия Шоуолтера
- Сидорова [12]
L (u(x, 0) — u0(x)) = 0 (0.5)
для уравнения (0.1) позволяет избежать трудностей решения задачи Коши, однако возможна неединственность решения задачи (0.2) - (0.4) [14].
Вопросам изучения неединственности решений уравнений и систем уравнений, сводящихся к полулинейным уравнениям вида (0.1), с условием Шоуолтера
- Сидорова (0.5) и связи неединственности решения с существованием в фазовом пространстве уравнения (0.1) сборок и складок Уитни были посвящены следующие работы: Т.А. Бокаревой и Г.А. Свиридюком для модели распространения нервного импульса в мембране и для модели автокаталитиче ской реакции с диффузией показано существование 2-сборки Уитни и 1-сборки Уитни соответственно [15], А.Ф. Гильмутдиновой для математической модели Плотникова были выявлены условия существования неединственности решения [16].
Г.А. Свиридюком и его учениками был разработан метод фазового пространства [1,13], основанный на изучении морфологии множества допустимых начальных значений
B = fu 2 U : (I -Q) (Mu + N(u)) = 0}, (0.6)
понимаемого как фазовое пространство уравнения (0.1). В случае когда фазовое пространство модели (0.2), (0.3) имеет особенности возникает неединственность решения задачи Шоуолтера - Сидорова, а из простоты фазового пространства модели (0.2), (0.3) следует единственность решения. В работе [17] было показано, что фазовое пространство уравнения (0.2) является простым банаховым C1 -многообразием в случае а@ > 0, в случае а@ < 0 фазовое пространство уравнения (0.2) может содержать 2-сборку Уитни [18]. В [19] были найдены условия на параметры а,^, при которых фазовое пространство уравнения (0.2) имеет особенности в случае dim кег(ц + А) = 1 при n = 1.
Поскольку работа помимо теоретических исследований содержит также результаты вычислительных экспериментов, здесь необходимо упомянуть метод Галеркина, положенный в основу вычислительных экспериментов. Получение аналитического решения уравнений соболевского типа (0.1) не всегда возможно, поэтому построение алгоритмов численных методов изучаемые проблемы востребованы. В случае вырождающихся полулинейных уравнений метод Галеркина является наиболее подходящим, так как позволяет учесть вырождение уравнения для некоторых параметров. Используя метод Галеркина, строятся приближенные решения задачи, коэффициенты которых удовлетворяют системе алгебро-дифференциальных уравнений с соответствующими начальными условиями [20-22].
Работа, кроме введения и списка литературы, содержит две главы. В первой главе приводится аналитическое исследование модели Хоффа. В п.1 приведены элементы функционального анализа, используемые в построении и исследовании математической модели. В п.2 приводится вывод уравнения Хоффа. В п.3 представлена редукция задачи (0.2) - (0.4) к абстрактной задаче (0.1), (0.5) и ее исследование, в п.4 проводится построение фазового многообразия, в п.5 найдены условия накладываемых на параметры а, 0, при которых фазовое пространство имеет особенности и существует несколько решений задачи Шоуолтера - Сидорова при dimker(^ + А) = 1 и dimker(^ + А) = 2 в случае n = 2. Во второй главе содержится численное исследование модели Хоффа. В п.1 описывается алгоритм численного метода, в п.2 приводится описание программы, а в п.3 приведены результаты вычислительных экспериментов.

Купить

В выпускной квалификационной работе было проведено исследование математической модели Хоффа. Найдены условия неединственности решений задачи Шоуолтера - Сидорова для математической модели деформации двутавровой балки. Разработан алгоритм численного метода исследования задачи Шоуолтера - Сидорова для модели Хоффа. Проведены вычислительные эксперименты. В рамках работы были реализованы следующие задачи:
1) исследована математическая модель Хоффа;
2) найдены условия, накладываемые на параметры уравнения, при которых существует несколько решений задачи Шоуолтера - Сидорова для модели Хоффа в случае размерности ядра оператора при производной по времени равного 1 или 2;
3) разработан численный метод нахождения решения задачи Шоуолтера - Сидорова для модели Хоффа в случае неединственности решений;
4) разработана и реализована программа нахождения численного решения задачи Шоуолтера - Сидорова для модели Хоффа. Проведен ряд вычислительных экспериментов.

Купить