📄Работа №194705
Тема: Исследование поведения нелинейной системы на примере осциллятора Ван-дер-Поля
Характеристики работы
Тип работы
Бакалаврская работа
Предмет
Физика
Объем:
29 листов
Год:
2019
Просмотров:
73
4600
руб.
🛒 Купить работу
Не подходит эта работа?
Закажите новую по вашим требованиям
Узнать цену на написание
Закажите новую по вашим требованиям
Представленный материал является образцом учебного исследования, примером структуры и содержания учебного исследования по заявленной теме. Размещён исключительно в информационных и ознакомительных целях.
Workspay.ru оказывает информационные услуги по сбору, обработке и структурированию материалов в соответствии с требованиями заказчика.
Размещение материала не означает публикацию произведения впервые и не предполагает передачу исключительных авторских прав третьим лицам.
Материал не предназначен для дословной сдачи в образовательные организации и требует самостоятельной переработки с соблюдением законодательства Российской Федерации об авторском праве и принципов академической добросовестности.
Авторские права на исходные материалы принадлежат их законным правообладателям. В случае возникновения вопросов, связанных с размещённым материалом, просим направить обращение через форму обратной связи.
Настоящий учебно-методический информационный материал размещён в ознакомительных и исследовательских целях и представляет собой пример учебного исследования. Не является готовым научным трудом и требует самостоятельной переработки.
📋 Содержание
Введение 3
Глава 1 6
§1.1. Уравнение Ван-дер-Поля 6
§1.2. Численное интегрирование дифференциальных уравнений 12
Глава 2 16
§2.1 Программа математического решения уравнения Ван-дер-Поля 16
Заключение 28
Список литературы 29
Глава 1 6
§1.1. Уравнение Ван-дер-Поля 6
§1.2. Численное интегрирование дифференциальных уравнений 12
Глава 2 16
§2.1 Программа математического решения уравнения Ван-дер-Поля 16
Заключение 28
Список литературы 29
📖 Аннотация
В данной работе проводится исследование поведения нелинейной динамической системы на примере классического осциллятора Ван-дер-Поля, который моделирует автоколебательные процессы в радиотехнических генераторах, в частности, в схеме на основе генератора Мейснера. Актуальность исследования обусловлена фундаментальной ролью данной модели в понимании нелинейных явлений и её приложениями в различных областях, от радиофизики до биологии, где она описывает, например, сердечные ритмы. Основным результатом является разработка специализированного программного пакета на языке C++, реализующего численное интегрирование уравнения Ван-дер-Поля методами Эйлера и Рунге-Кутты, что позволило проанализировать фазовые траектории и характер колебаний в зависимости от параметра нелинейности и провести верификацию путём сравнения с известными аналитическими решениями. Научная значимость работы заключается в сравнительном анализе эффективности численных методов для задач нелинейной динамики, а практическая – в создании инструмента для моделирования автоколебательных систем. Теоретической основой послужили классические труды самого Ван-дер-Поля, исследующие релаксационные колебания, работы ФитцХью по моделированию нервной мембраны, а также современные исследования Кузнецова и Селиверстовой, посвящённые феноменологии уравнения Ван-дер-Поля, и учебные пособия по вычислительной физике.
📖 Введение
Помимо экспериментов над физическими системами методом воздействия на них различными силами и наблюдением за динамикой движения различных их элементов, в математической физике так же используются методы математического анализа, которые способны, в силу предсказательной природы физики, рассказать нам об изучаемой системе весьма достаточно. Помимо анализа самих формул, выведенных для описания динамики систем, можно непосредственно посмотреть, что из себя представляет данное движение, а также визуализировать все эти процессы для подробного изучения.
В нашем случае мы именно так и будем изучать систему, основанную на генераторе Мейснера, поведение которой описывается уравнениями Рэлея и Ван-дер-Поля [1]. Эта система из себя представляет весьма замысловатый транзисторный или ламповый ключ с подключенной базой (соответственно сеткой) к трансформатору, откуда команды на прохождения тока поступают прямиком из колебательного контура. Такая простая, но усложнённая именно связью контура с пропускным механизмом через трансформатор, схема весьма сильно усложняется в своей работе, приобретая дополнительные коэффициенты нелинейности.
Для описания динамики тока на транзисторе или лампе используют уравнение Ван-дер-Поля или уравнение Рэлея. Описывая систему теоретически можно заметить градацию, позволяющую разделить системы с малой нелинейностью а<<1 и большой нелинейностью а>>1. Для удобства описания больших нелинейностей обычно используют уравнение Рэлея, но в данной работе будет использоваться только уравнение Ван-дер-Поля, для решения которого был избран метод Рунге-Куты третьего порядка.
Таким образом, целью данной работы является изучение математических методов описания осциллятора Ван -дер-Поля и разработка процедуры численного моделирования генератора незатухающих колебаний Ван-дер-Поля.
Разработка процедуры, позволяющей нам моделировать генератор незатухающих колебаний Ван-дер-Поля, будет происходить посредством языка программирования C++. Все результаты, полученные в виде двух столбцов таблиц значений, будут визуализироваться в виде графиков от задаваемых нами величин с помощью стороннего программного обеспечение OriginPro.
Как ни странно, такая достаточно теоретическая вещь, как осциллятор Ван-дер-Поля, может найти применение на практике. В некоторых источниках [1] предлагается использовать систему осцилляторов Ван-дер- Поля для моделирования бипедального опорно-двигательного аппарата, буквально в попытках воспроизвести двигательный аппарат прямоходящих млекопитающих. Помимо движения человека предлагается модель связанных осцилляторов Ван-дер-Поля использовать для моделирования возбуждающих и тормозящих нейтронных взаимодействий [2]. Экспериментально подтвердилось, что находится связь между постсинаптическим потенциалом и электроэнцефалограммой, что в дальнейшем произвело толчок к созданию модели, способной описывать отдельные группы нейронов [3].
Подобные нелинейные системы так же способны моделировать работу некоторых других органов. В частности, осцилляции сердечных сокращений очень близки по своему характеру с осцилляциями системы Мейснера и подобных. Ван-дер-Полем и Ван-дер-Марком в 1928 году было высказано предположение, что работа сердца полностью описывается тремя связанным нелинейными осцилляторами [4], соответствующими синоартериальному узлу, предсердию и желудочку (рис. 1), которые имеют строгую связь в сокращении между собой.
В нашем случае мы именно так и будем изучать систему, основанную на генераторе Мейснера, поведение которой описывается уравнениями Рэлея и Ван-дер-Поля [1]. Эта система из себя представляет весьма замысловатый транзисторный или ламповый ключ с подключенной базой (соответственно сеткой) к трансформатору, откуда команды на прохождения тока поступают прямиком из колебательного контура. Такая простая, но усложнённая именно связью контура с пропускным механизмом через трансформатор, схема весьма сильно усложняется в своей работе, приобретая дополнительные коэффициенты нелинейности.
Для описания динамики тока на транзисторе или лампе используют уравнение Ван-дер-Поля или уравнение Рэлея. Описывая систему теоретически можно заметить градацию, позволяющую разделить системы с малой нелинейностью а<<1 и большой нелинейностью а>>1. Для удобства описания больших нелинейностей обычно используют уравнение Рэлея, но в данной работе будет использоваться только уравнение Ван-дер-Поля, для решения которого был избран метод Рунге-Куты третьего порядка.
Таким образом, целью данной работы является изучение математических методов описания осциллятора Ван -дер-Поля и разработка процедуры численного моделирования генератора незатухающих колебаний Ван-дер-Поля.
Разработка процедуры, позволяющей нам моделировать генератор незатухающих колебаний Ван-дер-Поля, будет происходить посредством языка программирования C++. Все результаты, полученные в виде двух столбцов таблиц значений, будут визуализироваться в виде графиков от задаваемых нами величин с помощью стороннего программного обеспечение OriginPro.
Как ни странно, такая достаточно теоретическая вещь, как осциллятор Ван-дер-Поля, может найти применение на практике. В некоторых источниках [1] предлагается использовать систему осцилляторов Ван-дер- Поля для моделирования бипедального опорно-двигательного аппарата, буквально в попытках воспроизвести двигательный аппарат прямоходящих млекопитающих. Помимо движения человека предлагается модель связанных осцилляторов Ван-дер-Поля использовать для моделирования возбуждающих и тормозящих нейтронных взаимодействий [2]. Экспериментально подтвердилось, что находится связь между постсинаптическим потенциалом и электроэнцефалограммой, что в дальнейшем произвело толчок к созданию модели, способной описывать отдельные группы нейронов [3].
Подобные нелинейные системы так же способны моделировать работу некоторых других органов. В частности, осцилляции сердечных сокращений очень близки по своему характеру с осцилляциями системы Мейснера и подобных. Ван-дер-Полем и Ван-дер-Марком в 1928 году было высказано предположение, что работа сердца полностью описывается тремя связанным нелинейными осцилляторами [4], соответствующими синоартериальному узлу, предсердию и желудочку (рис. 1), которые имеют строгую связь в сокращении между собой.
✅ Заключение
В ходе выполнения работы было исследовано поведение нелинейной физической системы на примере осциллятора Ван-дер-Поля. Для этого был разработан пакет программ на языке программирования C++, осуществляющий численное интегрирование уравнения Ван-дер-Поля на базе методов Эйлера и Рунге-Кутты различных порядков, позволяющий моделировать поведение генератора для широкого интервала характеристик.
Разработанный пакет программ позволил провести анализ вида фазовых траекторий осциллятора и характера его колебаний в зависимости от величины вклада нелинейных слагаемых, входящих в уравнение. Кроме того, удалось сравнить результаты работы программного пакета с аналитическим решением задачи в нелинейном случае, и таким образом оценить эффективность работы выбранных для интегрирования уравнения Ван-дер- Поля численных методов.
Разработанный пакет программ позволил провести анализ вида фазовых траекторий осциллятора и характера его колебаний в зависимости от величины вклада нелинейных слагаемых, входящих в уравнение. Кроме того, удалось сравнить результаты работы программного пакета с аналитическим решением задачи в нелинейном случае, и таким образом оценить эффективность работы выбранных для интегрирования уравнения Ван-дер- Поля численных методов.
ИЛИ
Поиск аналога
📕 Список литературы
🖼 Скриншоты
🛒 Оформить заказ
⚡ Работу высылаем в течении 5 минут после оплаты.