ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА

Введение 3
Глава 1 Численное решение двумерного уравнения переноса 6
1.1 Физическая постановка задачи 6
1.2 Математическая постановка задачи 7
1.3 Дискретизация области исследования 7
1.4 Построение разностного аналога методом конечного объема 9
Глава 2 Исследование разностной схемы 14
2.1 Аппроксимация 14
2.2 Устойчивость и сходимость 15
Глава 3 Программная реализация алгоритма и проведение вычислительных экспериментов 20
3.1 Сравнение численного решения уравнения переноса с
аналитическим решением 20
3.2 Моделирование распространения примеси над г. Томск 23
3.3 Описание параллельной реализации построенного численного метода 25
Заключение 32
Список литературы 33
Приложение 1

Купить

Одной из важных прикладных задач является численное решение дифференциальных уравнений в частных производных. Используя метод конечного объема или метод конечных разностей, можно свети задачу решения дифференциального уравнения в частных производных к решению системы линейных алгебраических уравнений [1-3]. Полученное решение системы алгебраических уравнений будет являться приближенным значением решения искомого дифференциального уравнения в узловых точках.
Процесс перехода от дифференциальной постановки задачи к конечно-разностной постановке называют дискретизацией. Дискретизация - в общем случае это представление непрерывной функции дискретной совокупностью её значений при разных наборах аргументов. Для функции f (х ) дискретизация это представление ее множеством значений f (xi) ,f(х2) ,...,f(хп) на заданном дискретном множестве значений аргумента х i, х 2,.. .,хп.
Далее рассмотрим некоторые основные понятия теории разностных схем [4]. Область непрерывного изменения аргумента х е[х 0 , Х| заменим дискретным множеством точек Xj = х0 + j ■ h,j = 1, N,где h > 0 малое фиксированное число. Такое множество точек называется сеткой, отдельные точки сетки называются её узлами и h - шагом сетки. Функция, значения которой определяются в узлах сетки, называется сеточной функцией.
ш = {xLxL= а + hi, iel, N]
M{XLX[ = а + hi, ie0, N+ l]
Рассмотрим задачу с граничными условиями первого рода:
(Lu(x)=f(x);xe?;
11и(х) = /1(х);х Е Г;
где L- дифференциальный оператор, I - дифференциальный оператор граничных и начальных условий.
Заменяя в задаче (1) производные по формулам численного дифференцирования, получим следующую разностную задачу:
[Lhu^ = f™;
lhuЮ=д Ы; (2)
1 h[u] W = f (h)+8f (h);
', lft[u] Определение: Для вычисления нормы сеточных функций будем использовать C-норму
| | u | | = | | u | | = m ах | U(х) |
с х е о>
Определение: Говорят, что решение u (h)разностной краевой задачи (2) при измельчении шага сетки сходится к решению u дифференциальной краевой задачи (2), если
||[u]h— u (h)|| — 0 п р и h— 0.
Если выполнено неравенство
||[uk — u(h)||c<С2 ■ h к ,
где С2>0, k>0 - некоторые постоянные, не зависящие от h, то говорят, что имеет место сходимость порядка k относительно h или, что разностная схема имеет k-й порядок точности [4].
Определение: Будем говорить, что разностная схема (2)
аппроксимирует задачу (1) на решении и, если ||8f(h)|| — 0 при шаге h — 0.
Если имеет место неравенство
||5f<«||c£C1-h* (1.4),
где - некоторые постоянные, то будем говорить, что имеет
место аппроксимация порядка или порядка k относительно шага h [4].
Определение: Разностная схема (2) называется устойчивой, если существую числа и такие, что при любом и любом
£ (h)eC, ||е(h)||^ <8[4].
Разностная задача
{ftz 00=fw+£ m:
I /jz]W = /W:
Полученная из задачи (2) добавлением к правой части возмущения £ ( 1г) имеет только одно решение z (hпричем, это решение отклоняется от решения иневозмущенной задачи (2) на сеточную функцию z — и(h удовлетворяющей следующей оценке:
||zW — и(h)||c где С3 - некоторая постоянная, не зависящая от h .
Целью работы является изучение метода конечного объема, его применение в нахождении численного решения уравнения переноса, исследование аппроксимации, устойчивости и сходимости полученной разностной схемы. И последующая параллельная реализация построенного численного метода решения уравнения переноса.

Купить