📄Работа №191283
Тема: ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА
Характеристики работы
Тип работы
Бакалаврская работа
Предмет
Математика
Объем:
43 листов
Год:
2019
Просмотров:
68
4360
руб.
🛒 Купить работу
Не подходит эта работа?
Закажите новую по вашим требованиям
Узнать цену на написание
Закажите новую по вашим требованиям
Представленный материал является образцом учебного исследования, примером структуры и содержания учебного исследования по заявленной теме. Размещён исключительно в информационных и ознакомительных целях.
Workspay.ru оказывает информационные услуги по сбору, обработке и структурированию материалов в соответствии с требованиями заказчика.
Размещение материала не означает публикацию произведения впервые и не предполагает передачу исключительных авторских прав третьим лицам.
Материал не предназначен для дословной сдачи в образовательные организации и требует самостоятельной переработки с соблюдением законодательства Российской Федерации об авторском праве и принципов академической добросовестности.
Авторские права на исходные материалы принадлежат их законным правообладателям. В случае возникновения вопросов, связанных с размещённым материалом, просим направить обращение через форму обратной связи.
Настоящий учебно-методический информационный материал размещён в ознакомительных и исследовательских целях и представляет собой пример учебного исследования. Не является готовым научным трудом и требует самостоятельной переработки.
📋 Содержание
Введение 3
Глава 1 Численное решение двумерного уравнения переноса 6
1.1 Физическая постановка задачи 6
1.2 Математическая постановка задачи 7
1.3 Дискретизация области исследования 7
1.4 Построение разностного аналога методом конечного объема 9
Глава 2 Исследование разностной схемы 14
2.1 Аппроксимация 14
2.2 Устойчивость и сходимость 15
Глава 3 Программная реализация алгоритма и проведение вычислительных экспериментов 20
3.1 Сравнение численного решения уравнения переноса с
аналитическим решением 20
3.2 Моделирование распространения примеси над г. Томск 23
3.3 Описание параллельной реализации построенного численного метода 25
Заключение 32
Список литературы 33
Приложение 1
Глава 1 Численное решение двумерного уравнения переноса 6
1.1 Физическая постановка задачи 6
1.2 Математическая постановка задачи 7
1.3 Дискретизация области исследования 7
1.4 Построение разностного аналога методом конечного объема 9
Глава 2 Исследование разностной схемы 14
2.1 Аппроксимация 14
2.2 Устойчивость и сходимость 15
Глава 3 Программная реализация алгоритма и проведение вычислительных экспериментов 20
3.1 Сравнение численного решения уравнения переноса с
аналитическим решением 20
3.2 Моделирование распространения примеси над г. Томск 23
3.3 Описание параллельной реализации построенного численного метода 25
Заключение 32
Список литературы 33
Приложение 1
📖 Введение
Одной из важных прикладных задач является численное решение дифференциальных уравнений в частных производных. Используя метод конечного объема или метод конечных разностей, можно свети задачу решения дифференциального уравнения в частных производных к решению системы линейных алгебраических уравнений [1-3]. Полученное решение системы алгебраических уравнений будет являться приближенным значением решения искомого дифференциального уравнения в узловых точках.
Процесс перехода от дифференциальной постановки задачи к конечно-разностной постановке называют дискретизацией. Дискретизация - в общем случае это представление непрерывной функции дискретной совокупностью её значений при разных наборах аргументов. Для функции f (х ) дискретизация это представление ее множеством значений f (xi) ,f(х2) ,...,f(хп) на заданном дискретном множестве значений аргумента х i, х 2,.. .,хп.
Далее рассмотрим некоторые основные понятия теории разностных схем [4]. Область непрерывного изменения аргумента х е[х 0 , Х| заменим дискретным множеством точек Xj = х0 + j ■ h,j = 1, N,где h > 0 малое фиксированное число. Такое множество точек называется сеткой, отдельные точки сетки называются её узлами и h - шагом сетки. Функция, значения которой определяются в узлах сетки, называется сеточной функцией.
ш = {xLxL= а + hi, iel, N]
M{XLX[ = а + hi, ie0, N+ l]
Рассмотрим задачу с граничными условиями первого рода:
(Lu(x)=f(x);xe?;
11и(х) = /1(х);х Е Г;
где L- дифференциальный оператор, I - дифференциальный оператор граничных и начальных условий.
Заменяя в задаче (1) производные по формулам численного дифференцирования, получим следующую разностную задачу:
[Lhu^ = f™;
lhuЮ=д Ы; (2)
1 h[u] W = f (h)+8f (h);
', lft[u]
| | u | | = | | u | | = m ах | U(х) |
с х е о>
Определение: Говорят, что решение u (h)разностной краевой задачи (2) при измельчении шага сетки сходится к решению u дифференциальной краевой задачи (2), если
||[u]h— u (h)|| — 0 п р и h— 0.
Если выполнено неравенство
||[uk — u(h)||c<С2 ■ h к ,
где С2>0, k>0 - некоторые постоянные, не зависящие от h, то говорят, что имеет место сходимость порядка k относительно h или, что разностная схема имеет k-й порядок точности [4].
Определение: Будем говорить, что разностная схема (2)
аппроксимирует задачу (1) на решении и, если ||8f(h)|| — 0 при шаге h — 0.
Если имеет место неравенство
||5f<«||c£C1-h* (1.4),
где - некоторые постоянные, то будем говорить, что имеет
место аппроксимация порядка или порядка k относительно шага h [4].
Определение: Разностная схема (2) называется устойчивой, если существую числа и такие, что при любом и любом
£ (h)eC, ||е(h)||^ <8[4].
Разностная задача
{ftz 00=fw+£ m:
I /jz]W = /W:
Полученная из задачи (2) добавлением к правой части возмущения £ ( 1г) имеет только одно решение z (hпричем, это решение отклоняется от решения иневозмущенной задачи (2) на сеточную функцию z — и(h удовлетворяющей следующей оценке:
||zW — и(h)||c
Целью работы является изучение метода конечного объема, его применение в нахождении численного решения уравнения переноса, исследование аппроксимации, устойчивости и сходимости полученной разностной схемы. И последующая параллельная реализация построенного численного метода решения уравнения переноса.
Процесс перехода от дифференциальной постановки задачи к конечно-разностной постановке называют дискретизацией. Дискретизация - в общем случае это представление непрерывной функции дискретной совокупностью её значений при разных наборах аргументов. Для функции f (х ) дискретизация это представление ее множеством значений f (xi) ,f(х2) ,...,f(хп) на заданном дискретном множестве значений аргумента х i, х 2,.. .,хп.
Далее рассмотрим некоторые основные понятия теории разностных схем [4]. Область непрерывного изменения аргумента х е[х 0 , Х| заменим дискретным множеством точек Xj = х0 + j ■ h,j = 1, N,где h > 0 малое фиксированное число. Такое множество точек называется сеткой, отдельные точки сетки называются её узлами и h - шагом сетки. Функция, значения которой определяются в узлах сетки, называется сеточной функцией.
ш = {xLxL= а + hi, iel, N]
M{XLX[ = а + hi, ie0, N+ l]
Рассмотрим задачу с граничными условиями первого рода:
(Lu(x)=f(x);xe?;
11и(х) = /1(х);х Е Г;
где L- дифференциальный оператор, I - дифференциальный оператор граничных и начальных условий.
Заменяя в задаче (1) производные по формулам численного дифференцирования, получим следующую разностную задачу:
[Lhu^ = f™;
lhuЮ=д Ы; (2)
1 h[u] W = f (h)+8f (h);
', lft[u]
| | u | | = | | u | | = m ах | U(х) |
с х е о>
Определение: Говорят, что решение u (h)разностной краевой задачи (2) при измельчении шага сетки сходится к решению u дифференциальной краевой задачи (2), если
||[u]h— u (h)|| — 0 п р и h— 0.
Если выполнено неравенство
||[uk — u(h)||c<С2 ■ h к ,
где С2>0, k>0 - некоторые постоянные, не зависящие от h, то говорят, что имеет место сходимость порядка k относительно h или, что разностная схема имеет k-й порядок точности [4].
Определение: Будем говорить, что разностная схема (2)
аппроксимирует задачу (1) на решении и, если ||8f(h)|| — 0 при шаге h — 0.
Если имеет место неравенство
||5f<«||c£C1-h* (1.4),
где - некоторые постоянные, то будем говорить, что имеет
место аппроксимация порядка или порядка k относительно шага h [4].
Определение: Разностная схема (2) называется устойчивой, если существую числа и такие, что при любом и любом
£ (h)eC, ||е(h)||^ <8[4].
Разностная задача
{ftz 00=fw+£ m:
I /jz]W = /W:
Полученная из задачи (2) добавлением к правой части возмущения £ ( 1г) имеет только одно решение z (hпричем, это решение отклоняется от решения иневозмущенной задачи (2) на сеточную функцию z — и(h удовлетворяющей следующей оценке:
||zW — и(h)||c
Целью работы является изучение метода конечного объема, его применение в нахождении численного решения уравнения переноса, исследование аппроксимации, устойчивости и сходимости полученной разностной схемы. И последующая параллельная реализация построенного численного метода решения уравнения переноса.
✅ Заключение
В результате выполнения данной работы был изучен метод конечного объема, построена явная разностная схема для двумерного уравнения переноса. Проведено исследование построенной разностной схемы на порядок аппроксимации и устойчивость.
Тестирования построенного численного метода проведено на двумерной нестационарной задаче моделирования переноса примеси от мгновенного точечного источника. Показано, что использование противопотоковой схемы не является оптимальным вариантом выбора схемы для аппроксимации конвективного слагаемого.
Проведен вычислительный эксперимент по моделированию распространения примеси над городом Томск с использованием реальных полей скорости.
Написаны последовательный и параллельный алгоритмы решения уравнения переноса. Выполнена оценка времени и ускорения работы параллельной программы.
Тестирования построенного численного метода проведено на двумерной нестационарной задаче моделирования переноса примеси от мгновенного точечного источника. Показано, что использование противопотоковой схемы не является оптимальным вариантом выбора схемы для аппроксимации конвективного слагаемого.
Проведен вычислительный эксперимент по моделированию распространения примеси над городом Томск с использованием реальных полей скорости.
Написаны последовательный и параллельный алгоритмы решения уравнения переноса. Выполнена оценка времени и ускорения работы параллельной программы.
ИЛИ
Поиск аналога
📕 Список литературы
🛒 Оформить заказ
⚡ Работу высылаем в течении 5 минут после оплаты.