ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Введение 3
1 Численное решение задачи для математической модели системы 6
гарпактициды-диатомовы водоросли
1.1 Постановка задачи 6
1.2 Алгоритм решения задачи 7
1.3 Результаты вычислительных экспериментов 7
2 Численное решение обратной задачи 14
2.1 Постановка задачи 14
2.2 Алгоритм решения задачи 15
2.3 Тестовые расчёты для обратной задачи 16
Заключение 28
Список использованных источников 29
Приложения 30

Купить

Рассматривается система трофического сообщества гарпактициды- диатомовые водоросли. Это система основана на процессе трофотаксиса, т.е. перемещении микроорганизмов в направлении питательных веществ. В работе Тютюнова Ю.В.[1] была выведена математическая модель для системы такого рода. Полученная математическая модель является системой типа хищник жертва и в области Q=[0,T]x[0,1] имеет следующий вид:
N(0, x) = N0 (x), 0 < x < 1,
R(0, x) = R (x), 0 < x < 1,
v(0, x) = v0 (x), 0 < x < 1,
dN (t, x)
dx
v(t, x)| x=c., = °,
В этой система коэффициент k - коэффициент трофотаксиса. Этот коэффициент отображает поисковую активность хищника, другими словами, то на сколько целенаправленно хищник ищет свою жертву. При k=0 поиск жертв происходит случайным образом. Коэффициент a - коэффициент поисковой эффективности хищника, характеризующий интенсивность атак хищника. Аналитически в работе [1] было получено что при k>0, модель устойчива, пока коэффициент трофотаксиса не достигнет некоторого критического значения k*, после которого модель теряет устойчивость. 
Условия определения этого критического значения не было получено. Известно только то, что при различных входных параметрах критическое значение также различно. Так же важно отметить, что на практике редко случается, когда коэффициент трофотаксиса равен нулевому значению.
Так как не всегда есть возможность экспериментально провести необходимые замеры значения параметров математической модели таких, как начальные условия, граничные условия, коэффициент смертности, коэффициенты диффузии, коэффициент трофотаксиса, коэффициент поисковой эффективности хищника, возникает проблема нахождения этих коэффициентов. Существуют различные методы определения значения различных параметров математической модели, которые по каким-либо причинам могут быть неизвестны. Один из методов определения значения этих параметров, это решение обратной задачи. Обратные задачи - это такой тип задач, в случае которых некоторые значения параметров задач могут быть неизвестны.
Первые работы по исследованию обратных задач появились в первой половине 20-ого века. С появлением мощных вычислительных ресурсов область приложений обратных задач стала охватывать всё большее и большее количество научных дисциплин. И проблема разработки методов численного решения обратных задач становится всё более актуальной.
При решении прямых задач математической физики, исследователи стремятся найти функции, которые описывают различные физические явления, например, распространения различных примесей в жидкостях, распространения тепла в различных веществах и так далее. В ходе решения подразумевается, что требующиеся входные данные для математической модели являются известными. На практике это редко достижимо и различные значения параметров модели неизвестны. В следствии чего возникает необходимость ставить и решать обратные задачи. В большинстве случаем эти задачи некорректны[2][3][4][5], что означает нарушение хотя бы одного из свойств корректности (условие существования, условие единственности, условие устойчивости решения по отношению к возмущениям во входных данных).
В проделанной работы численно решается задача для математической модели системы гарпактицид-диатомовых водорослей. Так же осуществляется постановка обратной задачи для рассматриваемой математической модели и её численное решение. И проводятся вычислительные эксперименты по исследованию поведения решения относительно возмущений во входных данных, а именно в условии переопределения.
Цель работы- численное решение прямой и обратной задачи для математической модели системы гарпактицид-диатомовых водорослей. Для выполнения поставленной цели необходимо выполнить следующие задачи:
- численное решение прямой и обратной задачи.
- разработка алгоритма решения обратной задачи.
- разработка программы для реализации численных методов при помощи пакета прикладных программ Matlab[6].
-проведение вычислительных экспериментов.

Купить