ВВЕДЕНИЕ 3
1 Математическая модель RQ-системы M2|M2|1 с приоритетными заявками .. 5
1.1 Система дифференциальных уравнений Колмогорова 7
1.2 Система уравнений характеристических функций 9
2 Метод асимптотического анализа в условии большой задержки 10
2.1 Первый этап метода асимптотического анализа 10
2.2 Второй этап метода асимптотического анализа 13
3 Численная реализация 17
4 Имитационное моделирование RQ-системы с приоритетными заявками. .. 19
4.1 Описание имитационной модели 19
4.2 Алгоритм моделирования 20
4.3 Результаты работы имитационной модели и их точность 22
4.4 Область применимости асимптотических результатов 24
4.5 Имитационная модель для системы M2|Gamma2|1 и точность ее
результатов 25
5 Итерационный алгоритм для построения распределения вероятностей числа
заявок на орбите 26
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 27
ЛИТЕРАТУРА 28
На сегодняшний день средства связи и передачи данных используются практически во всех сферах человеческой деятельности: в науке, образовании, обороне, политике и экономике. Повседневную жизнь сложно представить без социальных сетей и интернета. В связи с таким ростом востребованности средств и систем коммуникаций, растет и интерес к их изучению и оптимизации. Этим и занимается теория массового обслуживания.
В последнее время большое количество научных работ было посвящено изучению систем массового обслуживание (СМО) [1-3, 4]. В частности, особое внимание отводится СМО с повторными вызовами (Retrial Queueing System). В таких системах, если прибор занят обслуживанием какой-либо заявки, и при этом поступает другая заявка, поступающая заявка уходит на так-называемую орбиту (зона ожидания), где она осуществляет случайную задержку, по истечению которой, она вновь пытается занять прибор. Этот процесс будет повторяться для всех заявок на орбите до тех пор, пока все они не будут успешно обслужены.
В простых СМО, все заявки, поступающие в систему, являются однородными [5, 6, 7]. Иными словами, все заявки в простых системах имеют одинаковый уровень важности и поэтому обслуживаются в соответствии с одним общим порядком. Однако, в реальной жизни все несколько иначе. Системы реального мира имеют заявки с различными степенями важности для системы, что определяет очередность их обслуживания. Такие системы называются системами массового обслуживания с приоритетными заявками [8, 9, 10].
СМО с приоритетными заявками могут иметь относительный [11, 12, 13] или абсолютный [14, 15, 16, 17] приоритет. В системах с абсолютным
приоритетом, если прибор занят обслуживанием заявки, и при этом поступает заявки более высокого приоритета, обслуживаемая заявка вытесняется на орбиту, где она прибывает на протяжении случайного периода времени, после чего снова пытается обслужится. Однако в системах с относительным приоритетом заявка продолжает свое обслуживание, вне зависимости от приоритета поступившей заявки.
В данной работе была исследована RQ-система M2IM2II с приоритетными заявками и были найдены распределения вероятностей состояний прибора и числа заявок на её орбите.
Целью данной работы является построение математической модели и нахождение распределения вероятностей числа заявок на орбите RQ- системы M2|M2|1 с приоритетными заявками.
Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:
1. Построить математическую модель в виде приоритетной системы с повторными вызовами;
2. Исследовать систему методом асимптотического анализа;
3. Построить имитационную модель исследуемой приоритетной системы для произвольного времени обслуживания;
4. Построить рекуррентный алгоритм для расчета вероятностных характеристик предложенной модели.
В данной работе была рассмотрена RQ-системы M2|M2|1 с приоритетными заявками, для неё была построена математическая модель и были найдены распределения вероятностей состояний прибора и количества заявок на орбите этой системы с использованием метода асимптотического анализа. Асимптотический анализ был проведен в двух этапах. На первом этапе было найдено распределение вероятностей состояний прибора и асимптотическое среднее значение к1/о числа заявок на орбите в исследуемой системе. На втором этапе была найдена дисперсия к2/о и Гауссовская характеристическая функция числа заявок на орбите. На основе полученных результатов была проведена численная реализация модели в среде Mathcad 15. Также для этой модели были построены имитационная модель с использованием языка JavaScript и библиотеки Chart.js, и итерационный алгоритм. Затем, для определения границ области их применимости, результаты ранее полученной аппроксимации были сравнены с результатами работы имитационной модели с использованием расстояния Колмогорова. В добавок, была построена имитационная модель для исследования поведения системы при гамма-распределенном времени обслуживания.
