АННОТАЦИЯ 3
ВВЕДЕНИЕ 4
Глава 1. Основные понятия теории графов 6
1.1 Определение графа 6
1.2 Ориентированные графы 10
1.3 Операции над графами 12
1.4 Понятия изоморфизм 15
Глава 2. Матрицы графов 17
2.1 Матрица Кирхгофа 21
2.2 Матрица циклов 22
2.3 Деревья 23
Глава 3. Задачи теории графов 24
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 29
ЛИТЕРАТУРА 30
Все мы пользуемся теорией графов и ее приложениями почти каждый день. Когда мы используем приложение карт и получаем самый быстрый маршрут к месту назначения. Или, когда заходим в социальные сети и ищем старого друга или какую-то информацию, используя тот факт, что информация в Интернете организовано в виде гигантского графа веб - страниц.
Теория графов - это раздел математики, который изучает объекты, называемые графами. Граф - это абстрактный математический объект, который представляет из себя набор вершин (узлов), соединенных между собой ребрами (линиями).
Теория графов возникла в 18 веке благодаря работам математика Леонарда Эйлера. В 1736 году он рассматривал проблему, связанную с Кенигсбергскими мостами - город Кенигсберг имел семь мостов, соединяющих четыре части города, и задача заключалась в том, можно ли пройти по каждому мосту только один раз и вернуться в исходную точку. Леонард Эйлер доказал невозможность такого маршрута, и для этого он представил город и мосты в виде графа. Доказательство Эйлера было первым случаем, когда математическая задача была решена с использованием графа.
С этого момента ветвь математики, известная как теория графов, десятилетиями бездействовала. Но, тем не менее, застывшее развитие теории графов, как самостоятельного раздела науки не помешало в середине 19 века исследованию электрических цепей немецким физиком Кирхгофом. В результате у него возникли деревья. К тому же времени относится открытие важного класса графов, называемых деревьями, английским математиком Артуром Кэли.
К появлению новых понятий и серьезных результатов в теории графов привели попытки решения знаменитой «проблемы четырех красок», которая появилась в это же время.
В 20 веке теория графов стала одним из наиболее активно развивающихся направлений математики. Ее приложения стали чрезвычайно разнообразными: теория сетей, криптография, транспортная логистика, социология, физика и другие области науки и промышленности.
Графы играют важную роль в современном мире и широко используются в различных областях. Некоторые примеры:
1. Социальные сети: графы используются для представления социальных связей между людьми, обработки больших объемов данных и предсказания поведения пользователей.
2. Логистика: графы помогают оптимизировать пути доставки грузов и транспортировку пассажиров, учитывая ограничения на расстояние, скорость и вес.
3. Биология: графы используются для анализа биологических сетей, таких как генные сети, белковые сети и метаболические пути, что может помочь в понимании механизмов биологических процессов и разработке новых лекарств.
4. Информационные технологии: графы используются для анализа сетевых структур, оптимизации схемы баз данных, планирования и оптимизации работы сетей и телекоммуникационных систем.
5. Математика и теория графов: графы имеют широкие применения в математической теории графов, дискретной математике, теории алгоритмов, теории сложности вычислений и других областях науки.
6. Физика: графы используются для моделирования сложных систем, таких как теория графов касательно динамики систем, магнитных полей и т. д. Таким образом, графы играют важную роль в современном мире, облегчая анализ и оптимизацию сложных систем и взаимодействий и упрощая нашу жизнь и работу.
В первой главе работы изучаются фундаментальные термины и понятия теории графов, необходимые для решения различных задач в дискретной математике. Представлены характеристики вершин и графов, включая различные типы графов и подграфов. Также обсуждаются основные операции над графами, при этом особое внимание уделяется декартову произведению графов. В конце главы немного коснулись изоморфизма графов. Во второй части изложены существенные типы графов: матрицы графов, деревья, матричная теорема Кирхгофа относительно деревьев. Были рассмотрены такие термины, как остовное дерево, лес, матрицы циклов, связности, инциденции, а также другие исключительно значимые понятия.
В ходе выполнения практической части исследования были использованы определения, изученные ранее, и успешно решены ряд задач из области теории графов.
