НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ПЛАНА ПРОИЗВОДСТВА

Проведенное исследование подтвердило, что эффективность производственных систем в условиях ограниченных ресурсов критически зависит от качества планирования. Математическое моделирование, как ключевой инструмент данного исследования, позволило отказаться от дорогостоящих натурных экспериментов и проанализировать сложные нелинейные взаимосвязи в производственном процессе. Центральным результатом работы является разработка и применение методов нелинейного программирования для решения конкретной задачи оптимизации плана производства. Выбор и адаптация соответствующего нелинейного метода, обоснованные в ходе исследования, продемонстрировали свою эффективность в поиске оптимальных решений, обеспечивающих максимизацию, прибыли при наложенных ресурсных ограничениях. Таким образом, представленная модель и методика оптимизации вносят вклад в повышение обоснованности управленческих решений в области планирования производства.
В представленной выпускной квалификационной работе проведено комплексное исследование задачи нелинейной оптимизации плана производства промышленного предприятия. В ходе исследования были решены следующие ключевые задачи:
Проведена классификация задач оптимизации, с акцентом на математическое программирование. Исследуемая задача идентифицирована как задача нелинейного выпуклого программирования, что определило выбор методов решения. Детально изучены фундаментальные разделы выпуклого анализа, включая теоремы, которые носят необходимый и достаточный характер, а также леммы, обеспечивающие строгость последующего анализа. Рассмотрены взаимосвязи с задачами линейного, квадратичного и дискретного программирования, как неотъемлемыми компонентами решения основной задачи.
Проведено глубокое исследование целевого функционала задачи максимизации дохода предприятия. Установлено, что функция является строго вогнутой, а её матрица Гессе отрицательно определена, что подтверждает выпуклость (вогнутость) задачи и гарантирует глобальный оптимум. Функция приведена к стандартному виду, выявлена её структура как эллиптического параболоида в 10 — мерном пространстве.
Изучены и программно реализованы алгоритмы одномерной оптимизации: равномерный поиск, деление отрезка пополам, дихотомия, золотое сечение, Фибоначчи. Проведен сравнительный анализ их эффективности, позволивший выбрать наиболее подходящие для встраивания в многомерные задачи.
Исследованы две принципиально различные группы методов многомерной условной оптимизации: методы последовательной безусловной оптимизации и методы возможных направлений. Детально изучены и реализованы методы штрафных функций (внешних штрафов) и барьерных функций. Проведено параметрическое исследование, анализирующее зависимость скорости сходимости (количества итераций) от начального параметра штрафа/барьера и коэффициента его увеличение/уменьшения. Изучены и реализованы метод Зойтендейка и метод проекции градиента (Розена). Проведено исследование влияния величины шага и коэффициента дробления на скорость сходимости.
Проведена серия вычислительных экспериментов для сравнительной оценки эффективности реализованных методов условной оптимизации. Построены сравнительные графики количества итераций и реализованных методов. Для преодоления проблемы визуализации в 10 — мерном пространстве разработана нейронная сеть на основе самоорганизующихся карт Кохонена. Данный метод нейронных сетей осуществляет нелинейное проектирование многомерных данных на низкоразмерную (обычно 2D) решетку нейронов, сохраняя топологические отношения исходного пространства. Каждый нейрон становится представителем группы точек данных. Визуализация карты Кохонена, через карту расстояний между нейронами позволила наглядно подтвердить глобальный характер найденного оптимума и проиллюстрировать структуру целевой функции (эллиптический параболоид) в трехмерном представлении.
Дополнительно использован график параллельных координат - метод визуализации многомерных данных, где каждая ось соответствует одной размерности, а одна точка данных изображается ломанной линией, пересекающей все оси на значениях своих координат. Это позволило визуально анализировать траектории поиска решений и характеристики оптимальной точки в контексте всех 10 переменных.
Применение разработанного математического аппарата и выбранных эффективных методов (наибольшую скорость сходимости показали методы штрафов и проекции градиента Розена, метод барьеров оказался несколько медленнее, метод Зойтендейка - самым медленным) позволило найти оптимальный план производства. Результаты математического моделирования продемонстрировали потенциал увеличения выручки предприятия на 4 % при переходе на оптимизированный план. Хотя процент роста может показаться умеренным, он обусловлен исходной близостью плана к оптимальному и отражает значимый резерв повышения эффективности в реальных условиях. Полученное решение также обеспечивает рост прибыли, что подтверждает экономическую целесообразность применения методов оптимизации. Работа наглядно продемонстрировала высокую практическую значимость математического моделирования и оптимизации для современных предприятий. Разработанный подход позволяет без затратных натурных экспериментов, опираясь только на математическую модель и вычислительные методы, находить решения, повышающие конкурентоспособность за счет более эффективного использования ресурсов.
В работе решена актуальная задача нелинейной оптимизации плана производства с использованием современного математического аппарата выпуклого анализа и методов нелинейного программирования. Комплексное исследование, включающее теоретический анализ, разработку и сравнительную оценку алгоритмов, применение методов визуализации многомерных данных (SOM, параллельные координаты) и вычислительный эксперимент, подтвердило эффективность предложенного подхода. Полученные практические результаты обосновывают внедрение методов математической оптимизации в процессы планирования промышленных предприятий для повышения их экономических показателей

Купить