Указатель обозначений 3
Список основных понятий 4
Введение 6
Глава 1. Основные понятия 8
1. Определения и примеры групп 8
2. Абелевы группы 9
3. Циклические группы 10
4. Прямые суммы и их свойства 12
Глава 2. Группы гомоморфизмов абелевых групп 13
1. Определение гомоморфизма и примеры 13
2. Свойства группы гомоморфизмов 14
3. Связь группы гомоморфизмов с прямой суммой и произведением ....17
Заключение 18
Список используемой литературы 19
Теория абелевых групп является ветвью (абстрактной) алгебры, которая имеет дело с коммутативными группами. Как ни странно, она довольно независима от общей теории групп: ее методы имеют лишь небольшое сходство с некоммутативным случаем. (Тем не менее, существует определенная связь с теорией модулей, особенно с целочисленными областями.) Существуют две главные причины изучения теории абелевых групп: ну, во-первых, результаты получаются красивые, а вторая, что это один из образцов для теории модулей.
Великий вклад в математику внес Нильс Хенрик Абель. Он родился 5 августа 1802 года в обычной семье пастора Георга Абеля. В 1815 году Нильс поступает в кафедральную школу в Христиании. Он был обыкновенным мальчишкой, на которого обратил внимание математик Бернт Микель Хольмбое. Абель начал изучать математику с большим интересом и продвигался с неимоверной скоростью, через небольшой промежуток времени он уже разбирался в некоторых разделах математики самостоятельно. В 1821 году он поступает в университет, где на него сразу обращают внимание профессора. Абель мог заниматься математикой днем и ночью до полного изнеможения. За время обучения он посетил Копенгаген, Берлин. В основном его интересовали решения алгебраических уравнений. Абель доказал, что не всякое уравнение можно решить в радикалах. На данный момент эти уравнения называются абелевскими. Его доклад по теории функций математики незаметили, и он долго находился в Парижских архивах и был напечатан только после смерти Абеля. В 1828 году Абель заболел. Из-за постоянной нехватки денег он недоедал, недосыпал, вечно работал, это и сыграло значительную роль в жизни Абеля. Сначала врачи предполагали, что у него туберкулез, потом он очень сильно простудился, и у него появилась пневмония. Организм великого математика не выдержал и 6 апреля 1829 года он умер. Обидно, что такой человек прожил такую короткую жизнь, но его открытиями, а именно теоремами, интегралами, формулами и группами пользуются до сих пор.
Целью данной работы является рассмотреть основные понятия и свойства гомоморфизмов абелевых групп.
Структура выпускной квалификационной работы:
Выпускная квалификационная работа состоит из Введения, в котором говорится о роли абелевых групп и, в частности, о жизни Нильса Хенрика Абеля. Также есть заключение и список используемой литературы.
Краткое содержание разделов, содержащихся в Главе 1.
1. Главные определения группы, примеры и несколько свойств.
2. В данном параграфе дано определение абелевой группы, некоторые свойства и примеры.
3. Главное определение циклической группы и некоторые теоремы.
4. Описываются прямые суммы и их свойства.
Вторая глава выпускной квалификационной работы уже посвящена теме «Группы гомоморфизмов абелевых групп».
Краткое содержание разделов, содержащихся в Главе 2.
1. Определение гомомрфизма и несколько примеров.
2. Свойства групп гомоморфизмов.
3. Две теоремы, описывающие связь группы гомоморфизмов с прямой суммой и произведением.
Целью данной работы было ознакомление с одной из важнейших конструкций теории абелевых групп, а именно с группами гомоморфизмов абелевых групп. В данной работе рассмотрены основные понятия теории абелевых групп и их свойства. Представлены сведения о циклических группах и прямых суммах. Особое внимание было уделено свойствам абелевых групп, доказательство которых проводились самостоятельно. Изучена теорема о связи группы гомоморфизмов с прямой суммой и произведением. В данной теме еще много информации и нерешенных вопросов, которые необходимо рассмотреть.
