Тема: ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ НА ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

В данной работе рассматриваются пространства непрерывных отображений C(X, M), где М - метрическое пространство, Х - линейно упорядоченное топологическое пространство. В частности, рассматриваются пространства С(Х, D), где D = {0,1} - дискретное двоеточие. Пространство C(X, M) наделяется
топологией поточечной сходимости и обозначается Ср (Х, М). Это означает, что база окрестностей точки /еС(Х,М) определяется следующим образом: ®/ = {U(f,*i,х2 • • хп, £): xi Е ^, i = 1, • •и, £ > 0}, где U(f, х1,х2 .. хп, £) = {$£ С(Х,М): d(^(%i),/(%[)) < £, i = 1,2. .и} и d- метрика в пространстве М, конечное множество К = {х1,х2 • . хп} будем называть носителем окрестности U и обозначать yupp U. Если М = К, пространство Ср(Х, К) является линейным топологическим пространством и обозначается обычно Ср(Х); если M=D, то пространство Ср(Х,П) - топологическая группа, где операция сложения задается по правилу:
С0, если f(x) = ^(х) (1, если /(х) ^ ^(х).
Следовательно, f + f = 0. Нетрудно видеть, что операция сложения непрерывна.
Мы будем рассматривать вопрос о существовании инъективного или сюръективного отображения Т: Ср(Х, М)^ Ср(У, М), где Y - компакт. Для этого мы рассматриваем такие свойства, как теснота и линделёфовость пространств Ср([1, я), М) для любого а > щ1 и любого метрического пространства М.
В §1 мы доказываем линделёфовость пространства Ср([1, щ1), К), Ср([1, щ1), D) и нелинделёфовость пространства Ср([1,я),М) для любого а > щ1и любого метрического пространства М.
Линделёфовость пространства Ср([1, щ1),М) впервые была доказана Гулько С.П., в работе [3]. В данной работе линделефовость пространства Ср([1, щ1),М) вытекает из более общих теорем. Мы излагаем доказательство этого факта, приведенное в книге Ткачука[4], которое дано непосредственно для пространства Ср[1,^1).
Далее, в §1 из доказанных свойств делается вывод о несуществовании сюръективного отображения из Ср([1, «1),К) на Ср([1, ы1], К). Также, в данной работе мы докажем линделёфовость пространства Ср([1, ш1), D).
В §2 мы рассмотрим вопрос о тесноте этих пространств. Теснота и линделёфовость пространства X тесно связана с теснотой и линделёфовостью пространства Cp(X).
Теорема Асанова. [5] Для любого вполне регулярного пространства Х и для любого ПЁЙ, выполняется неравенство t(Xn) < l(cp(X)), где t(Xn) - теснота пространства Xn и l (cp (X)) - число Линделёфа.
Теорема (Архангельского-Пыткеева) Для любого вполне регулярного пространства Х и для любого nGN, выполняется равенство t(cp(X)) = sup{l(Xn): п Е Ы). В частности, пространство Cp(X) имеет счетную тесноту тогда и только тогда, когда Xn - линделёфово пространство для любого п Е Ы.
В §2 из доказанных свойств делается вывод о несуществовании непрерывной иньекции пространства Ср([1, ш1), М) в пространство Ср([1, ш1], М).
В §3 мы разбираем доказательство теоремы о существовании непрерывной инъекции пространства Ср([1, «1), D) в пространство Ср([1, щ1],D), приведенное в статье Бузяковой Р. [6].
Купить

В § 1 мы показали линделёфовость пространств Ср([1,M1),D) и Ср[1, «1). Доказали, что для любого ординала а > ш1 и метрического пространства М, пространства Ср([1,а],М) и Ср([1,а),М) не являются линделёфовыми. Показали, что не существует непрерывной сюръекции пространства Ср [1, «1) на пространство Ср[1,ы1], и пространства Ср([1, ш1), D) на пространство Ср([1, ш1], D).
В § 2 определили тесноту пространства Ср([1,ш1),М) и пространства Ср(К), где М - метрическое пространство и К - компакт. Сделали вывод о том, что для пространства Ср([1, ы1), D) нет гомеоморфного вложения в Ср([1, ы1], D), и пространство Ср [1, «1) негомеоморфно никакому подпространству в Ср [1, щ1].
В § 3 мы показали что существует непрерывная инъекция Ф: Ср ([1, ы1), D) ^ Ср([1, ы1], D), которая является групповым изоморфизмом.

Купить