Решение уравнения теплообмена, не смотря на большой объем исследований данного вопроса, остается актуальным, и по сей день. Связано это с появлением, и потребностью в разработке, новых материалов удовлетворяющих требованиям определенных практических задач (космическая промышленность, авиастроение и т.д.).
Объектом исследования является тепловое поле, распространение тепла от одних участков области к другим. В простейшем случае тепловой поток направлен из области с более высокой температурой в области с более низкой.
Выделяют три основных способа перенос тепла:
1) теплопроводность - перенос, посредством взаимодействия микрочастиц соприкасающихся тел;
2) конвекция - перенос, обусловленный перемещением вещества в пространстве, характерен для движущихся сред (жидкости, газы);
3) излучение - перенос энергии в виде электромагнитных волн.
В большинстве прикладных задач процесс переноса тепла осуществляется при комбинировании различных способов (сложный обмен). Так же при рассмотрении теплопередачи большое значение приобретают эффекты, связанные с изменением теплофизических характеристик сред.
Для уравнения теплопроводности как основные выделяют граничные условия первого, второго и третьего рода. Наиболее простым является граничное условие первого рода - задается значение температуры на границе рассматриваемой области. Условия второго рода на границе задают значение теплового потока. Граничное условие третьего рода отображает конвективный теплообмен между поверхностью твердого тела с окружающей средой. Для более точного моделирования процессов теплопередачи прибегают к комбинированию различных граничных условий - на краях рассматриваемого тела ставятся одни условия, на границах сопряжения различных материалов другие.
При решении уравнений теплопроводности применяются аналитические и численные методы. Аналитические методы не имеют погрешности, но их применение значительно усложняется при решении более сложных задач. Численные методы позволяют избежать подобных проблем, но имеют погрешность, зависящую от конкретного метода.
Аналитические методы в свою очередь подразделяются на точные и приближенные. Точные методы позволяют получить решение дифференциальной задачи в аналитическом виде, а в приближенных методах решение получается как предел последовательности, члены которой выражаются через элементарные функции. К аналитическим методам решения задач теплопроводности относятся - метод разделения переменных, метод функций Грина, метод интегральных преобразований, метод возмущений [1 - 3].
При помощи численных методов решение дифференциальной задачи получается в виде таблицы приближенных значений искомого решения в определенных точках рассматриваемой области решения (множество этих точек называется сеткой). Поскольку решение ищется в дискретной (сеточной) области такие численные методы называют сеточными или разностными. Сеточные методы основаны на построении разностных схем, которые позволяют свести решение дифференциальной задачи к решению системы линейных алгебраических уравнений. Существуют разные методы построения разностных схем - проекционный метод, метод непосредственной аппроксимации, интегро-интерполяционный метод, метод конечных элементов и другие [3]. Так как дифференциальная задача отражает физические законы сохранения, естественно потребовать выполнения законов сохранения и для разностной задачи. Разностные схемы, выражающие законы сохранения на сетке, называются консервативными разностными схемами. [4].
Данная работа посвящена построению консервативной разностной схемы методом «Ромб» [5]. Проводится исследование схемы на монотонность, погрешность аппроксимации и устойчивость. Получен численный метод решения разностной задачи, аналогичный методу прогонки. Проведены сравнения аналитических и численных решений расчета температур в однослойной и двухслойной пластинах. Получено численное решение задачи теплопроводности в многослойной пластине.
В данной работе была построена и исследована консервативная разностная схема, полученная методом «Ромб».
В ходе исследований было показано, что построенная разностная схема является условно монотонной, абсолютно устойчивой по начальным данным. При выполнении условия монотонности для х = 1 разностная схема имеет первый порядок погрешности по времени и второй по пространству, при нФ 1 порядок аппроксимации по x понижается до первого. К достоинствам построенной схемы стоит отнести возможность сквозного счета, возможность вычисления в каждом узле сетки не только значений температуры, но и теплового потока, поэтому граничные условия не требуют аппроксимации.
Для получения результатов был построен численный метод, аналогичный потоковому варианту метода прогонки. Проведены расчеты температуры в многослойной пластине.
