АННОТАЦИЯ 4
Введение 6
1 Исследование системы M|H2|2 с орбитой 8
1.1 Математическая модель и постановка задач 8
1.2 Уравнения Колмогорова 10
1.3 Первый этап асимптотического анализа 16
1.4 Второй этап асимптотического анализа 18
1.5 Метод асимптотически диффузионного анализа 21
1.6 Численные эксперементы 24
2 Исследование системы M|H2|N с орбитой 25
2.1 Математическая модель и постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Уравнения Колмогорова 27
2.3 Первый этап асимптотического анализа 33
2.4 Второй этап асимптотического анализа 38
2.5 Метод асимптотически диффузионного анализа . . . . . . . . . . . . . 47
2.6 Численные эксперименты 51
Заключение 53
Список использованной литературы 54
Системы массового обслуживания с орбитами, также называемые RQ-системы, обладают большой популярностью и широко рассмотрены в литературе [6, 8, 12, 13].
Очень похожая работа была также рассмотрена в [20]. В ней, так же как и в этой работе, гиперэкспаненциальное время обслуживания и, если заявка пришла в тот момент, когда все приборы заняты, то она так же отправляется на орбиту, где ожидает время, распределённое по экспоненциальному закону. Однако, после завершения обслуживания, в работе [20] заявка покидает в систему, в то время как в данной работе заявка может также уйти на орбиту или же мгновенно перейти на повторное обслуживание. И так же, с помощью асимптотически диффузионного анализа был найден ряд распределения количества заявок на орбите.
В данной работе рассматриваются двухфазные системы MH22, M|H2|N с обратной связью.
Исследование двухфазных систем проводилось [7]. Но принципиальное отличие предложенной системы состоит в том, что в системе, исследуемой в [7] фазы расположены последовательно, с орбиты заявка поступает только на вторую фазу, обратной связи нет. А в данной работе модель предполагает, что заявка из входящего потока выбирает одну из двух фаз обслуживания с определённой вероятностью и имеется обратная связь.
В первой главе исследуется система MH22 методом асимптотического анализа в асимптотическом условии предельно малой интенсивности обращений заявок с орбиты. В стационарном режиме получено распределение вероятностей числа занятых приборов на первой и второй фазе, а также построена аппроксимация ряда распределения вероятностей числа заявок на орбите. Приведены численные примеры. В первой главе для получения результата был рассмотрен одномерный процесс, характеризующий состояние блока обслуживания, однако во второй главе для исследования системы M H2N рассматривается двумерный процесс, характеризующий состояние блока обслуживания и орбиты. Для исследования применялся метод асимптотически диффузионного анализа, использующее асимптотическое условие предельное малой интенсивности заявки на орбите [1]. Для системы MH2 N стационарном режиме найдено распределение вероятностей числа занятых приборов на первой и второй фазах, а также построена аппроксимация ряда распределения вероятностей числа заявок на орбите в стационарном режиме. Приведены результаты численных экспериментов.
Но в нашем исследовании намного больше пригодилась статья [21].
Также помогли книги [1,2,3,5,9,10,11] для ознакомления с различными методами.
Цель дипломной работы: построить ряд распределения, или его апроксимацию, для количества заявок на орите для RQ-системы M |H2|N в стационарном режиме.
Задачи:
1. Построить математическую модель систем M|Н212, M|H2|N с обратной связью.
2. Составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для систем M | Н212, M | Н21N с обратной связью.
3. С помощью метода асимптотического анализа найти коэффициенты переноса и диффузии дифференциальных уравнений систем M |H2 |2, M |H2 |N с обратной связью.
4. С помощью метода асимптотически диффузионного анализа вычислить плотность распределений вероятностей произвольного количества заявок на орбите и получить дискретные распределения вероятностей.
В настоящей работе представлено исследование RQ-систем с обратной связью вида MH22, M|H2|N. Анализ моделей, выполненный в работе, представлен двумя методами исследования: методом асимптотического и асимптотически диффузионного анализа. В работе построены аппроксимации распределений вероятностей числа приборов, занятых на первой и второй фазе в указанных системах в условии большой задержки заявок на орбите. Также построены диффузионные аппроксимации распределений вероятностей числа заявок на орбите для всех систем. Приведено несколько численных примеров и сравнения с результатами имитационного моделирования.
Основными научными достижениями данного исследования являются:
1. Нахождение аппроксимации распределений вероятностей числа приборов, занятых на первой и второй фазе в системах MH22, M|H2|N.
2. Модификации метода асимптотического анализа для исследования RQ-систем с обратной связью в предельных условиях согласованно высокой интенсивности вызывания заявок, согласованно длительного обслуживания вызываемых заявок и большой задержки заявок на орбите.
3. Алгоритм применения метода асимптотически-диффузионного анализа для исследования RQ-систем с обратной связью.
4. Аппроксимации распределений вероятностей числа заявок на орбите в RQ-системах с обратной связью при различных условиях функционирования систем.
Результаты, описанные в данной работе, были представлены в докладах на следующих конференциях:
1. VII Международная молодежная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем», г. Томск, 28-30 мая, 2020;
2. VIII Международная молодежная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем», г. Томск, 22-30 мая, 2021.
