АННОТАЦИЯ 4
ВВЕДЕНИЕ 3
1 Постановка задачи 5
2 Исследование дополнительно формируемого потока на интервале конечной длины в системе массового обслуживания с простейшим входящим потоком и экспоненциальным обслуживанием 6
2.1 Описание модели и постановка задачи 6
2.2 Распределение числа событий дополнительно формируемого потока на ин¬тервале конечной длины 6
2.2.1 Исследование двумерного процесса числа занятых приборов и числа
событий дополнительно формируемого потока 6
2.2.2 Метод марковского суммирования 11
2.2.3 Сравнение характеристических функций распределения вероятностей
числа событий дополнительно формируемого потока 13
2.3 Численный эксперимент 14
3 Исследование дополнительно формируемого потока на интервале [0, х) в системе
массового обслуживания в модели с экспоненциальным обслуживанием 17
3.1 Описание модели и постановка задачи 17
3.2 Распределение числа событий дополнительно формируемого потока на ин¬тервале [0, х) с простейшим входящим потоком 17
3.3 Распределение числа событий дополнительно формируемого потока на ин¬тервале [0, х) с ММРР входящим потоком 22
3.4 Численный эксперимент 26
4 Исследование дополнительно формируемого потока на интервале [0, х) в системе массового обслуживания с произвольным обслуживанием 30
4.1 Описание модели и постановка задачи 30
4.2 Распределение числа событий дополнительно формируемого потока на интервале [0, х) с простейшим входящим потоком 30
4.3 Распределение числа событий дополнительно формируемого потока на интервале [0, х) с ММРР входящим потоком 34
4.4 Численный эксперимент 35
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 38
ЛИТЕРАТУРА
В настоящее время математическому моделированию и исследованию экономических [1, 2], производственных [3, 4], колл-центров [5] и др систем и процессов уделяется достаточно большое внимание. Прежде всего, это обусловлено желанием оптимизировать работу реальной системы, улучшить её характеристики в соответствии с требуемыми критериями. Отметим, что при различного рода исследовании таких систем объектом анализа становятся входящие или выходящие потоки заявок [6, 7], процесс изменения во времени числа занятых приборов и др., например, такие исследования часто связаны с исследованием потоков событий: потоком клиентов в банке, страховой компании, потоком заявок в интернет-магазине, звонков в call-центре и др.
Данное моделирование интересно тем, что, исследовав поток и получив его характеристики, мы можем проанализировать, как поведет себя система в той или иной ситуации, спрогнозировав тем самым возможные риски и избежав при этом существенных потерь.
Например, модели актуарной математики сейчас принадлежат к числу представляющих наибольший интерес, так как перспективы отечественного страхования и его влияния на экономику очевидны. Активное развитие такой отрасли прикладной математики как актуарные расчёты несомненно ведет к стабилизации экономического и социального развития общества. Наращивая свой экономический и технологический потенциал, стоит принимать во внимание возможность разрушительности масштаба убытков от наступления событий, влекущих за собой потери в процессе производства. Именно поэтому исследования всевозможных видов таких систем в различных условиях [9, 11, 12, 13]
Это объясняет высокий научный интерес к данным исследованиям. На данный момент теме моделирования вышеупомянутых систем посвящено немало научных работ [14, 15, 16, 17, 18, 19]. Для исследования потоков событий используются различные методы теории вероятностей и теории массового обслуживания [20, 21].
Однако, анализ работ по данной тематике показывает, что необходимо развивать методы исследования таких систем. В представленной работе реализуется подход для получения характеристик сгенерированных (дополнительных) потоков.
В актуарной математике примерами таких потоков могут выступать потоки страховых случаев клиентов, находящихся «на обслуживании» в страховой компании [1]. Также дополнительные потоки можно проиллюстрировать другими областями приложения исследований: Бартлетт использовал такие дополнительные потоки для анализа транспортных потоков [22], а П. Льюис рассматривал их в качестве модели отказов вычислительных машин [23].
В данной работе рассмотрены системы массового обслуживания с неограниченным числом приборов, простейшим потоком входящих заявок с параметром А [24] или ММРР- потоком. Время обслуживания является случайной величиной, имеющей экспоненциальное распределение с параметром д или произвольную функцию распределения B(ж). В течение времени обслуживания каждая заявка с интенсивностью у генерирует (формирует) дополнительные события.
Последовательность моментов наступления событий, сформированных одной поступившей в систему заявкой, будем называть локальным d-потоком.
Последовательность моментов наступления событий, сформированных всеми поступившими в систему заявками, будем называть суммарным d-потоком.
На практике решение может быть применимо к модели страховой фирмы или веб-приложению, например, службе вызова такси или интернет магазину. В этом случае мы найдем распределение суммарного числа требований на страховые выплаты или числа вызовов, поступающих в службу вызова такси. Зная это распределение, можно, например, вычислить распределение общей суммы страховых выплат или сумму оплаты услуг web приложения.
Актуальность работы подтверждается стремительным развитием области приложения исследования, а также научным интересом к этой сфере.
Таким образом, поставленная задача по получению характеристической функции числа п(Т) событий дополнительного потока, сгенерированных на интервале [0, х) заяв¬ками, поступившими в систему на интервале (—х, T] для моделей рисунков (Рисунок 3.1, Рисунок 4.1) методом марковского суммирования была успешно выполнена.
Получен графический вид распределения вероятностей P(n,t) для простейшего вхо¬дящего потока в рамках численного эксперимента при заданных значениях параметров.
По результатам работы были представлены доклады на двух конференциях:
1. На Международной молодежной научной конференции «Математическое и программ¬ное обеспечение информационных, технических и экономических систем» 28 - 30 мая 2020г. (Диплом I степени)
2. На Международной молодежной научной конференции «Математическое и программ¬ное обеспечение информационных, технических и экономических систем» 26 - 30 мая 2021г.
Также по результатам работы в сборниках опубликованы материалы конференций:
1. Федерягина П. В. Исследование дополнительно формируемого потока в системе с экспоненциальным обслуживанием и неограниченным числом приборов методом мар-ковского суммирования / Д. Д. Даммер, П. В. Федерягина // Сборник материалов международной конференции «Математическое и программное обеспечение инфор-мационных, технических и экономических систем»,- 2020.-С. 260 - 265.
2. Федерягина П. В. Исследование дополнительно формируемого потока в модели мас¬сового обслуживания с неограниченным числом приборов методом марковского сум¬мирования / Д. Д. Даммер, П. В. Федерягина // Сборник материалов международ¬ной конференции «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем»,- 2021.
