Введение 3
Глава 1. Теоретические аспекты понятия производной в школьном курсе математики 6
1.1. Анализ содержания темы в учебниках по алгебре и началам анализа 6
1.2. Роль производной в школьном курсе математики 11
1.3. Производная в заданиях ЕГЭ 19
1.4. Производная в нестандартных и олимпиадных задачах 28
Глава 2. Методические аспекты обучения решению нестандартных и олимпиадных задач 38
2.1. Программа факультативного курса 38
2.2. Конспекты урока 45
Заключение 58
Список литературы 60
Приложение 64
Дифференциальное исчисление - мощный математический инструмент для анализа изменений в объектах. Для использования этого инструмента были сформулированы простые правила вычисления производных. Производная - одно из фундаментальных понятий математики, это функция, являющаяся результатом применения той или иной операции дифференцирования к исходной функции. Именно эта функция позволяет человеку решать задачки разного характера. Причем речь идет о задачах, как в математике, так и на практике, то есть в сферах техники и науки.
Производную можно применить к телам не только в горизонтальной плоскости, и не только для тела в вертикальной плоскости. Вверх, вниз, куда угодно. Производная - это показатель изменения любой функции в любой момент и в любой точке. Она может отображать степень изменения всего. Например, изменение в популяции дельфинов в зависимости от изменения температуры воды, изменение массы шариков в зависимости от его площади, или даже поможет спрогнозировать скорость роста очередного финансового актива.
Таким образом, производная функции и её приложения широко применяются в задачах математического моделирования, при решении различных задач физики, химии, геометрии и в других отраслях знаний. Также производную используют для исследования функции и построения её графика, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции. Знание этой темы является важной составляющей частью математической культуры обучающихся и основой получения ими дальнейшего образования. Кроме того, в задачах итогового контроля, а именно в ЕГЭ, встречаются задачи из темы «Производная», которая, в свою очередь, всегда была слабым местом обучающихся.
Поэтому тема данной выпускной квалификационной работы «Применение производной к решению нестандартных и олимпиадных задач» имеет весьма актуальное значение.
Объектом исследования выпускной квалификационной работы является процесс обучения математике в средней школе.
Предмет исследования - методические особенности обучения решению задач с использованием производной...
Тема «Производная» очень интересна в изучении, но в то же время и сложна. При помощи производной можно довольно точно, а главное просто построить различные графики, решить задачи и уравнения, исследовать функции и многое другое.
В данной работе проведен анализ трех учебников по теме «Производная», проанализированы цели изучения этой темы, а также выделены методические трудности.
Цель работы достигнута: были разработаны программа факультативного курса и конспекты факультативных занятий для обучающихся по теме «Производная функции».
В результате были решены следующие задачи:
- изучены и проанализированы учебники по математике для старших классов;
- выделены методические рекомендации по проведению занятий по теме «Производная»;
- разобраны нестандартные и олимпиадные задачи по данной теме.
Тема «Производная» в школьном курсе математики является одним из основных разделов алгебры и начал анализа, поскольку производная успешно применяется при решении различных прикладных задач в науке, технике и жизни. Именно поэтому данная тема должна быть понятна ученикам.
На основании изложенного материала можно сделать вывод о том, что производная - одно из фундаментальных понятий математики и ее применение довольно широко. Данное понятие помогает наиболее эффективно решить некоторые школьные задачи повышенной сложности.
Представленная работа даёт понять, что существует ряд подходов ко многим преобразованиям в математике, которые стандартным путём трудноосуществимы или осуществимы, но громоздкими способами.
В связи с научно-техническим прогрессом дифференциальное исчисление становится все более актуальным в решении как простых, так и сложных задач. Можно сказать, что задачи на исследование поведения функции, имеют большое практическое применение. В данной работе показано решение некоторых таких задач.
