Введение 3
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АСПЕКТ ПРОБЛЕМЫ ИЗУЧЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ С ЦЕЛЫМИ 6
1.1. История изучения неопределенных уравнений с целыми коэффициентами 6
1.2. Необходимая теория для изучения неопределённых уравнений 12
1.3. Существование решений неопределённых уравнений. Основные теоремы 16
1.4. Методы решений неопределённых уравнений с целыми коэффициентами 19
ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЙ АСПЕКТ ПРОБЛЕМЫ ИЗУЧЕНИЯ
НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 34
2.1. Решение задач в целых числах при подготовке к олимпиадам и ЕГЭ
по математике 34
2.2. Факультативный курс «Решение неопределённых уравнений с целыми коэффициентами» 43
2.3. Конспекты занятий факультативного курса 47
Заключение 59
Список литературы
В школьном курсе алгебры и начал анализа, при сдаче ЕГЭ за курс средней школы и при решении олимпиадных задач встречаются различного вида задания, связанные с решением неопределённых уравнений. Они бывают весьма сложными и требуют нестандартного подхода к решению. Умение работать с подобными заданиями способствует развитию логического и аналитического мышления, формированию различных качеств личности, таких как самостоятельность, гибкость, критичность, целеустремленность. В процессе работы с неопределёнными уравнениями школьники учатся устанавливать причинно-следственные связи, овладевают приёмами целеполагания и рефлексии.
Если провести анализ школьных учебников, то можно сделать вывод, что список изучаемых вопросов, касающихся темы данной работы, достаточно узок. Вопрос о нахождении натуральных решений линейного уравнения раскрыт неполно. Рассматриваются далеко не все способы его решения.
Навыки работы с заданиями, связанными с нахождением корней неопределённых уравнений являются достаточно востребованными. Это связанно с тем, что задачи подобного типа нередко появляются в вариантах ЕГЭ и математических олимпиад.
В процессе изучения неопределенных уравнений с целыми коэффициентами выполняется повторение ранее изученного материала, что способствует его более качественному усвоению. В большинстве случаев, на начальных этапах изучения данного раздела у школьников возникает много сложностей, связанных с различными факторами: разнообразие формул и методов решения уравнений такого типа, возможность применения к одному уравнению нескольких способов решения, отсутствие необходимых навыков. Последний фактор является наиболее значительным.
Все вышеперечисленное определило актуальность данной работы.
Цель выпускной квалификационной работы: изучение теоретических и методических аспектов понятия «неопределенные уравнения с целыми коэффициентами».
Объект исследования: процесс обучения математике в старших классах.
Предметом исследования являются неопределенные уравнения с целыми коэффициентами.
Задачи:
1. Изучить теорию неопределенных уравнений с целыми коэффициентами.
2. Проанализировать методы решений неопределённых уравнений с целыми коэффициентами.
3. Рассмотреть задачи в целых числах при подготовке к олимпиадам и ЕГЭ по математике.
4. Разработать факультативный курс «Решение неопределённых уравнений с целыми коэффициентами».
5. Привести в пример конспекты двух уроков на заданную тему.
Практическую значимость данной работы обуславливает разработанный факультативный курс и практические рекомендации по формированию у учащихся более глубоких знаний и умений применять полученные знания при решении неопределенных уравнений с целыми коэффициентами.
В данной работе проанализированы типичные задачи, связанные с решением неопределённых уравнений различных степеней, изучена и проанализирована математическая литература, выполнена методическая работа, включающая в себя изучение теории, подбор заданий, разработку практических рекомендаций факультативного курса и конспектов.
Выпускная квалификационная работа содержит введение, две главы, заключение, список использованной литературы.
В первой главе определяются основные понятия, связанные с теорией неопределённых уравнений с целыми коэффициентами и способы их решения.
Во второй главе выпускной квалификационной работы проводится анализ олимпиад по математике и заданий ЕГЭ, а также разработан факультативный курс «Решение неопределённых уравнений с целыми коэффициентами» и приведены конспекты занятий из разработаного факультативного курса.
При выполнении вариантов ЕГЭ (профильный уровень) и олимпиадных заданий, учащиеся часто сталкиваются с проблемой решения диофантовых уравнений. Указанная проблема возникает в связи с тем, что вопросы, связанные с изучением понятия и решения таких уравнений в большей степени остаются за рамками школьных учебников.
Это обуславливает необходимость в ознакомлении школьников с понятием диофантова уравнения, изучении методов и способов решения неопределенных уравнений с целыми коэффициентами. Выполнение данных задач не только поможет школьникам успешно сдать единый государственный экзамен, но и повысит уровень их познавательного интереса к предмету математика, поспособствует развитию логического и аналитического мышления учащихся.
В данной работе достигнуты следующие результаты:
1) изучена теория неопределенных уравнений с целыми коэффициентами;
2) проанализированы методы решений неопределённых уравнений с целыми коэффициентами;
3) разобраны задачи в целых числах при подготовке к олимпиадам и ЕГЭ по математике.
4) разработан факультативный курс «Решение неопределённых уравнений с целыми коэффициентами».
5) составлены конспекты двух занятий разработанного факультативного курса.
Задачи исследования решены, цель достигнута. Данная выпускная квалификационная работа может быть использована учителями и студентами педагогических вузов как методическое пособие по изучению неопределенных уравнений с целыми коэффициентами на факультативных занятиях в школе.
