Тема: О поведении на бесконечности функции Грина

Функция Грина является одним из основных понятий математической физики и применяется для решения неоднородных краевых задач. Теория функции Грина была развита английским математиком Джорджем Грином в 1830-е годы. С тех пор функция Грина широко применяется в электродинамике, квантовой теории поля, теории упругости, в частности, для описания распространения волн.
При решении задачи о построении вещественного примера быстро убывающей функции с ограниченным лапласианом в полуцилиндре была сформулирована теорема 3.1, являющаяся инструментом для оценки функции Грина. Полученный результат может быть применён к широкому классу задач, поскольку позволяет оценивать функцию Грина для лапласиана при задании функции Грина в области с произвольным характерным размером. В известных нам работах по исследованию функций Грина оценки, связанные с расстояниями, оказываются либо намного более слабыми, либо требующими специфических условий. Например, результаты, изложенные в статье В.А.Кондратьева и Е.М. Ландиса 1988 года [10], касаются областей типа цилиндра или типа конуса. В статье Ю. А. Алтухова 1998 года [12] функция Грина оценивается через расстояние до границы области и убывает полиномиально с ростом расстояния между точками.
Теорема 3.1, являющаяся основным результатом настоящей работы, показывает быстрое убывание функции Грина и является естественным обобщением теорем, аналогичных теореме Фрагмена-Линделёфа, на области произвольного типа. В частности, результат для области типа цилиндра получается из теоремы 3.1 при постоянном радиусе г, а результат для области типа конуса — при радиусе г, линейно растущем при удалении от начальной точки.
0.1. Структура работы и основной результат. Работа состоит из двух частей. В первой части даётся определение функции Грина и исследуются её основные свойства: существование, монотонность, простейшая оценка значений, поведение лапласиана. Во второй части эти свойства используются для доказательства теоремы об оценке функции Грина. Основным результатом работы является доказательство теоремы об оценке функции Грина в области в Rd: при d > 2 при определённых условиях функция Грина экспоненциально убывает.

Купить

Основным результатом работы является имеющая общий характер теорема 3.1 о скорости убывания функции Грина в любых областях, пересекающихся с шарами заданных радиусов по множествам малой меры.
Тема, в рамках которой получен результат, актуальна. Например, в статье 2021 года Бо-Ёнга Чена и Юанпу Ксионга [13] доказано противоположное утверждение: если в область в пространстве Cn=R2nвкладываются каспы, то функция Грина (и, как следствие, любая супергармоническая функция) убывает не более чем с определённой скоростью при приближении к границе. Комплексная структура на пространстве R2nв данном случае играет вспомогательную роль.
Доказанная в работе теорема 3.1 легко обобщается на произвольные многообразия, что позволяет применить её во многих задачах. В частности, обобщение теоремы позволяет построить пример быстро убывающей на бесконечности функции, заданной на полуцилиндре и имеющей ограниченное отношение лапласиана к значению функции. Помимо этого, предполагается, что теорема 3.1 позволит при всех d>4 построить пример вещественнозначной функции на Rd, убывающей пропорционально e-c|x|3и имеющей ограниченное отношение лапласиана к значению функции. Такой пример опровергнул бы гипотезу Ландиса, высказанную в 1960-х годах, о том, что не существует вещественнозначной функции, имеющей ограниченное отношение лапласиана к потенциалу, но убывающей быстрее, чем экспоненциально. В размерности d =2 более слабая версия гипотезы, запрещающая убывание быстрее e-|x|1+e, доказана в 2020 году в работе Логунова, Малинниковой, Надирашвили и Назарова [5]. Таким образом, гипотеза Ландиса останется открытой проблемой только при d =3.

Купить