Введение 3
Постановка задачи 5
Обзор литературы 6
Глава 1 8
1.1 Основные понятия и базовые утверждения 8
1.2 Вспомогательные результаты 11
1.4 Аппроксимация функций пространства S' 12
1.5 Конечный критерий экспоненциальной устойчивости 16
1.6 Анализ полученного результата 19
Глава 2. Реализация в MATLAB 25
Выводы 30
Заключение 31
Список литературы 32
Приложение 35
Для описания большинства динамических процессов могут быть использованы обыкновенные дифференциальные уравнения. Стоит отметить, что их рассмотрение возможно только для описания процессов, будущее состояние которых зависит только от одного, текущего состояния.
В современном мире существует множество различных явлений, при построении математических моделей которых возникают системы с запаздыванием. К ним относятся процессы в биологии, экономике, физике, экологии и другие, где важно учитывать прошлые состояния системы. В качестве запаздывания может выступать время ответа системы или время протекания физической реакции. Похожие ситуации возникают в случае, когда взаимодействие различных составляющих одной системы происходит с некоторой задержкой.
Как мы знаем, любые, даже самые малые, отклонения начального положения системы могут отражаться на последующих состояниях для неустойчивых систем. В связи с этим ключевым вопросом для систем с запаздыванием является вопрос их устойчивости. Данный раздел для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений хорошо изучен, и разработаны основные подходы к его решению. Одним из них является метод функций Ляпунова. Согласно ему, существование единственного решения уравнения Ляпунова, которое является симметричной, положительно определенной матрицей, достаточно для экспоненциальной устойчивости линейных стационарных систем дифференциальных уравнений.
К сожалению, прямого аналога для систем с запаздыванием не существует. В настоящее время разработаны некоторые подходы, обобщающие известный метод Ляпунова на случай систем с запаздыванием и дающие условия экспоненциальной устойчивости.
Один из таких обобщающих подходов позволил получить критерий экспоненциальной устойчивости, дающий возможность проверить систему на устойчивость/неустойчивость за конечное число математических операций. Главная идея данного критерия - проверка матрицы специального вида на положительную определённость. В основе построения этой блочной матрицы лежит фундаментальная матрица системы и матрица Ляпунова. От параметров системы, таких как размерность матриц и величина запаздывания зависит размерность построенной матрицы. Не редко это может быть довольно большое число, в связи с чем возникает сложность с проверкой на положительную определённость.
В настоящей работе был улучшен критерий экспоненциальной устойчивости для линейной системы с запаздыванием, предложенный в статье [8], модифицированный в [2]. Была уменьшена размерность матрицы, являющейся главным элементом этого критерия.
Будущие исследования могут быть направлены на обобщение этого критерия на случай систем с несколькими запаздываниями, а также возможные модификации, связанные с аппроксимацией функций из рассматриваемого предкомпакта.
