Введение 3
Постановка задачи 5
Обзор литературы 5
Глава 1. Матрица Ляпунова. Приближённое вычисление и оценка
точности приближения 7
1.1. Система дифференциально-разностных уравнений ... 7
1.2. Матрица Ляпунова как решение интегрального уравнения 8
1.3. Устранение диагональных разрывов ядра уравнения . . 12
1.4. Метод квадратур для построения приближённого решения интегрального уравнения 13
1.5. Оценка точности приближения методом Анселоне. ... 14
1.6. Реализация в системе Matlab 19
Глава 2. Применение матриц Ляпунова для исследования устой¬
чивости систем с запаздвхванием 21
2.1. Критерий устойчивости 21
2.2. Реализация в системе Matlab 23
Выводы 26
Заключение 27
Список литературы 28
В данной работе предложен метод приближённого вычисления матрицы Ляпунова для дифференциально-разностных систем с запаздывающим аргументом. С помощью систем уравнений данного вида описываются многие химические, физические и биологические процессы, происходящие в мире. Благодаря исследованию уравнений с запаздыванием, мы имеем возможности получать более точную информацию о процессах и предсказывать поведение объектов и систем в будущем. Необходимость использования запаздываний продиктована тем, что скорость изменения в системах зависит не только от состояния в настоящий момент времени, но и от происходившего в уже прошедший промежуток времени. При решении некоторых задач запаздыванием пренебрегают, и в ход идёт теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако нужно понимать, при неучитывании запаздываний можно получить результат, никоим образом не соответствующий реальности. Поэтому, при детальном изучении процессов, целесообразно использовать функции с запаздывающим аргументом.
Понятие матрицы Ляпунова играет важную роль в теории дифференциально-разностных уравнений, так как поиск решений уравнений данного типа - трудоёмкая задача, хотя бы потому, что собственных чисел в системе бесконечно много. Все их не найти, а значит, проверить, что они лежат в левой комплексной полуплоскости непросто. Поэтому для изучения свойств систем используется метод функционалов Ляпунова-Красовского полного типа и матрица Ляпунова, являющаяся их основным элементом. В настоящее время матрица Ляпунова применима к таким задачам, как исследование систем на устойчивость, вычисление H2нормы придаточной матрицы. А сами функционалы полного типа Ляпунова-Красовского используются для исследования робастной устойчивости, построения экспоненциальных оценок и стабилизирующих управлений, вычисления значений функционалов качества в задачах оптимального управления и для других задач.
Тем не менее, в настоящее время не существует общего метода построения матриц Ляпунова. В случае одного запаздывания и нескольких кратных запаздываний задача построения сводится к решению линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с линейными граничными условиями. Для некратных запаздываний применимы эвристические численные методы без оценки точности приближения. Также существуют методы с оценкой точности приближения для экспоненциально устойчивых систем.
В настоящей работе построен метод приближённого вычисления матрицы Ляпунова для дифференциально-разностных систем с запаздывающим аргументом, что позволяет исследовать системах дифференциальных уравнений с запаздываниями, и была построена оценка точности приближения данного эвристического метода. При этом, не накладывалось условие экспоненциальной устойчивости линейных дифференциально-разностных систем с запаздывающим аргументом.
Исследована недавно полученная теорема о построении области устойчивости линейных систем с запаздывающим аргументом. На практике был реализован алгоритм, основанный на данной теореме, и получены конкретные значения. В результате чего, можно понять, что можно улучшить в дальнейшем в данной задаче. Например, уменьшить значения размерности матрицы, построения которой требует данный алгоритм проверки на устойчивость системы с запаздываниями. Что позволит затрачивать значительно меньше времени на выполнение программы.
