Введение 3
Постановка задачи 5
Обзор литературы 5
Глава 1. Матрица Ляпунова. Приближённое вычисление и оценка
точности приближения 7
1.1. Система дифференциально-разностных уравнений ... 7
1.2. Матрица Ляпунова как решение интегрального уравнения 8
1.3. Устранение диагональных разрывов ядра уравнения . . 12
1.4. Метод квадратур для построения приближённого решения интегрального уравнения 13
1.5. Оценка точности приближения методом Анселоне. ... 14
1.6. Реализация в системе Matlab 19
Глава 2. Применение матриц Ляпунова для исследования устой¬
чивости систем с запаздвхванием 21
2.1. Критерий устойчивости 21
2.2. Реализация в системе Matlab 23
Выводы 26
Заключение 27
Список литературы 28
В данной работе предложен метод приближённого вычисления матрицы Ляпунова для дифференциально-разностных систем с запаздывающим аргументом. С помощью систем уравнений данного вида описываются многие химические, физические и биологические процессы, происходящие в мире. Благодаря исследованию уравнений с запаздыванием, мы имеем возможности получать более точную информацию о процессах и предсказывать поведение объектов и систем в будущем. Необходимость использования запаздываний продиктована тем, что скорость изменения в системах зависит не только от состояния в настоящий момент времени, но и от происходившего в уже прошедший промежуток времени. При решении некоторых задач запаздыванием пренебрегают, и в ход идёт теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако нужно понимать, при неучитывании запаздываний можно получить результат, никоим образом не соответствующий реальности. Поэтому, при детальном изучении процессов, целесообразно использовать функции с запаздывающим аргументом.
Понятие матрицы Ляпунова играет важную роль в теории дифференциально-разностных уравнений, так как поиск решений уравнений данного типа - трудоёмкая задача, хотя бы потому, что собственных чисел в системе бесконечно много. Все их не найти, а значит, проверить, что они лежат в левой комплексной полуплоскости непросто. Поэтому для изучения свойств систем используется метод функционалов Ляпунова-Красовского полного типа и матрица Ляпунова, являющаяся их основным элементом. В настоящее время матрица Ляпунова применима к таким задачам, как исследование систем на устойчивость, вычисление H2нормы придаточной матрицы. А сами функционалы полного типа Ляпунова-Красовского используются для исследования робастной устойчивости, построения экспоненциальных оценок и стабилизирующих управлений, вычисления значений функционалов качества в задачах оптимального управления и для других задач.
Тем не менее, в настоящее время не существует общего метода построения матриц Ляпунова. В случае одного запаздывания и нескольких кратных запаздываний задача построения сводится к решению линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с линейными граничными условиями. Для некратных запаздываний применимы эвристические численные методы без оценки точности приближения. Также существуют методы с оценкой точности приближения для экспоненциально устойчивых систем.
В настоящей работе построен метод приближённого вычисления матрицы Ляпунова для дифференциально-разностных систем с запаздывающим аргументом, что позволяет исследовать системах дифференциальных уравнений с запаздываниями, и была построена оценка точности приближения данного эвристического метода. При этом, не накладывалось условие экспоненциальной устойчивости линейных дифференциально-разностных систем с запаздывающим аргументом.
Исследована недавно полученная теорема о построении области устойчивости линейных систем с запаздывающим аргументом. На практике был реализован алгоритм, основанный на данной теореме, и получены конкретные значения. В результате чего, можно понять, что можно улучшить в дальнейшем в данной задаче. Например, уменьшить значения размерности матрицы, построения которой требует данный алгоритм проверки на устойчивость системы с запаздываниями. Что позволит затрачивать значительно меньше времени на выполнение программы.
1. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.
2. Egorov A.V., A Finite Necessary and Sufficient Stability Condition for Linear Retarded Type Systems // Труды конференции "IEEE 55th Conference on Decision and Control (CDC)”, Лас Вегас, США. 2016. с. 3155-3160.
3. Egorov A.V., Kharitonov V.L. Approximation of delay Lyapunov matrices // International Journal of Control, 2018. Vol. c. 2588-2596.
4. Егоров А.В., Вычисление матриц Ляпунова для систем с запаздыванием // XII Всероссийское совещание по проблемам управления, Москва. 16-19 июня 2014. с. 1292-1303.
5. Garcia-Lozano EL, Kharitonov V.L. Lyapunov matrices for time delay system with commensurate delays // 2nd Symposium on System, Structure and Control, Oaxaca, 2004. c. 102-106.
6. Garcia-Lozano EL, Kharitonov V.L. Numerical computation of time delay Lyapunov matrices // Department of Automatic Control, Mexico. 2006.
7. Graham A. Kronecker Products and Matrix Calculus with Applications. Ellis Horwood, Chichester, UK, 1981. 21-30 p.
8. Huesca E. , Mondie S. , Santos O. (2009). Polynomial approximations of the Lyapunov matrix of a class of time delay systems // In E. Petre (Ed.), Proceedings of the 8th IFAC workshop on time delay systems, Sinaia, Romania, 1-3 September 2009. c. 261-266. IFAC.
9. Jarlebring E., Vanbiervliet J., Michiels W. (2011). Characterizing and computing the H2 norm of time-delay systems by solving the delay Lyapunov equation // IEEE Transactions on Automatic Control, 56 (4).
10. Kharitonov V.L. Time-delay systems: Lyapunov functionals and matrices. Birkhauser, Basel, 2013.
11. Kharitonov V.L., Zhabko A.P. Lyapunov-Krasovskii approach to the robust stability analysis of time-delay systems // Automatica 39, 2003. c. 15-20.
12. Mondie S., Egorov A.V. Some necessary conditions for the exponential stability of one delay systems// Труды конференции "8th International Conference on Electrical Engineering", 2011. c. 106.
13. Манжиров А.В., Полянин А.Д. Справочник по интегральным уравнениям. М.: Факториал Пресс, 2000.
14. Олемской И.В., Численные методы. Паств II. Учебное пособие. СПб, 2012.
15. Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир, 1983. 215-224 с.
16. Чернышева Л. Выпускная квалификационная работа. Матрица Ляпунова как решение уравнения Фредголвма. СПб, 2016. 10-16 с.