Введение 3
Постановка задачи 4
Глава 1. Вспомогательные сведения 5
1.1. Функционалах полного типа 5
1.2. Вычисление матрицы Ляпунова 11
Глава 2. Основные результаты 14
2.1. Экстремальные задачи 14
2.2. Алгоритм Нелдера-Мида 14
2.3. Программная реализация 17
2.4. Численный пример 18
Заключение 18
Список литературы 20
Системы дифференциально-разностных уравнений моделируют динамику широкого класса реальных явлений и процессов. Например, задача о распространении эпидемии с учетом вакцинации приводит к системе дифференциальных уравнений с запаздыванием, равным времени действия вакцины. Свойства решений подобных задач определяются, в том числе, набором таких математических величин, как перерегулирование, степень затухания и время переходного процесса. Такие количественные характеристики дают возможность сравнивать решения, составляя тем самым основу задач вариационного исчисления, рассматриваемых, например, в [1]. Главной целью данной работы является оценка этих параметров на основе подхода Ляпунова-Красовского.
Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений задача поставлена и решена Ляпуновым в монографии [2] в 1892 году. Для более сложных классов уравнений, в том числе и для уравнений с запаздывающим аргументом, задача ставится в работах [3, 4, 7, 8]. Для ее решения применяются методы, обзор которых приведен далее.
В следующем разделе сформулирована математическая постановка задачи, введены обозначения и определения, используемые в дальнейшем, а также приведен краткий обзор существующей литературы на исследуемую тему. Основная часть выпускной квалификационной работы состоит из двух глав, в которых приведены необходимые вспомогательные теоретические сведения, представлены полученные результаты и описана программная реализация алгоритма в среде MATLAB, решающего поставленную задачу. Работа программы проиллюстрирована на численном примере.
В работе поставлена и решена задача оценки решений системы линейных стационарных дифференциально-разностных уравнений. На основе прямого метода Ляпунова предложен оптимизационный алгоритм оценки параметров переходных процессов устойчивых систем и его программная реализация. С помощью программных пакетов MATLAB и GEOGEBRA проиллюстрирована корректность полученных оценок и некоторые свойства решений.
Заметим, что реализованный в работе подход, вообще говоря, не позволяет найти точные оценки перерегулирования и степени затухания переходных процессов. Поэтому в качестве направлений для дальнейшего исследования следует отметить проблему получения точных оценок переходного процесса на основе прямого метода Ляпунова, а также возможное обобщение результатов на системы уравнений с несколькими запаздываниями разной величины, а также использование недетерминированных методов оптимизации для программной реализации.
