Введение 3
Постановка задачи 7
Обзор литературы 8
Глава 1. Основные теоретические сведения 9
1.1 Понятие дифференциального уравнения 9
1.2 Дифференциально-разностные уравнения 10
1.3. Основные понятия теории устойчивости 12
1.4. Второй метод Ляпунова 12
1.5 Применение второго метода Ляпунова к исследованию на устойчивость дифференциально-разностных уравнений 16
Глава 2. Построение области асимптотической устойчивости 19
2.1 Постановка начальной задачи и определение устойчивости 19
2.2 Исследование на устойчивость по первому приближению 22
2.3 Методы нахождения областей асимптотической устойчивости дифференциально-разностных уравнений, стационарных в первом приближении 24
Глава 3. Программная реализация 27
3.1 Метод Адамса численного решения дифференциально-разностного уравнения 27
3.2 Пример построения области асимптотической устойчивости 29
Выводы 35
Заключение 36
Список литературы 37
Купить

Решения многих дифференциальных уравнений и их систем не выражаются в элементарных функциях, поэтому для отыскания их решения прибегают к приближенным методам интегрирования. Однако чаще всего существует необходимость не узнать конкретное решение, а исследовать его свойства. В качестве таких свойств могут выступать: изменение поведения решения при изменении некоторых параметров, изменение некоторых решений при незначительных изменениях начальных данных, характер решения, изменение поведения целой системы при изменении отдельных параметров. Изучением этих вопросов занимается качественная теория дифференциальных уравнений.
Одним из важнейших вопросов этой теории является исследование на устойчивость дифференциальных уравнений и их систем. Важность данного вопроса обусловлена физическим смыслом дифференциального уравнения: это модель движения физического объекта. При исследовании дифференциального уравнения на устойчивость главным вопросом является то, как поведут себя отдельные решения при незначительном изменении начальных условий: будут ли малые изменения начальных условий означать малое изменение всего решения.
Для постановки задачи об устойчивости, необходимы следующие данные:
1) объект, об устойчивости которого будет идти речь,
2) определение устойчивости.
Большинство реальных динамических объектов, чаще всего это механические системы, могут быть описаны дифференциальными уравнениями или их системами. Устойчивость таких систем чаще всего рассматривается в смысле устойчивости по Ляпунову. Это понятие, реализующее идею «малых» отклонений решения дифференциального уравнения на промежутке времени [0, +от) при «небольших» вариациях начальных данных этого решения.
Теория устойчивости занимается разработкой методов, которые бы позволяли судить об устойчивости некоторого заданного решения, не зная при этом общего решения дифференциального уравнения. Основоположником этой теории является российский математик А.М. Ляпунов.
Он разделил все многообразие методов теории устойчивости на два класса. В первый класс были включены те методы исследования дифференциальных уравнений на устойчивость, которым требуется определенная информация о решениях данной системы. Этот подход получил название первого метода Ляпунова. Второй же метод Ляпунова составляет совокупность приемов и средств, которые позволяют исследовать решения дифференциальных уравнений и их систем при помощи специальных функций Ляпунова.
Частное решение, которое исследуется на устойчивость, часто называют невозмущенным, а любое другое - возмущенным решением.
Устойчивость бывает двух типов:
1) Устойчивость относительно возмущения начальных данных.
Основная идея заключается в том, что решения х = x(t; t0,x0) и х = x(t; t0,x1) с начальными данными (t0,x0) и (t0, х1) должны быть близкими для любого t > t0, если х0 и х1 достаточно близки.
Важнейшим требованием в этом случае является требование близости решений при всех значениях t > t0 , так как если ограничить рассмотрение конечным интервалом изменения времени t, то указанное свойство сохранения близости будет прямо следовать из классической теоремы о непрерывной зависимости решений системы дифференциальных уравнений от начальных данных.
2) Устойчивость относительно постоянно действующих внешних возмущений.
Для конечного временного интервала решения исходной х = f(t, т) и возмущенной х = f(t,x) + g(t,x) систем, выходящие из одной и той же начальной точки, будут близкими на данном конечном интервале, при условии, что внешние возмущения g(t,x) во второй системе достаточно малы.
Это - прямое следствие классической теоремы о непрерывной зависимости решений системы дифференциальных уравнений от правых частей уравнений. Поэтому, когда говорят об устойчивости при постоянно действующих возмущениях, подразумевают, что t > to.
Понятие устойчивости по Ляпунову можно расширить. Решение называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и при малых отклонениях начальных данных отклонения решения на промежутке времени [0, +от) стремятся к нулю. Асимптотическая устойчивость гарантирует, что при небольшом изменении начальных данных с течением времени отклонения решения системы станут незначительны.
Большинство процессов, заключающихся в передаче массы, энергии или информации характеризуются тем, что в них присутствует запаздывание. Существует множество обуславливающих его причин — например, ограничение скорости распространения сигнала или инерционность некоторых элементов. Если описывать их без использования параметра, учитывающего запаздывание, результаты могут оказаться неточными или вовсе абсурдными. Поэтому целесообразно рассматривать дифференциальные уравнения, принимающие различные значения аргумента.
Одним из возможных вариантов является рассмотрение дифференциально-разностных уравнений вида x'(t) = f[t,x(t),x(t - h)], в котором х — неизвестная функция независимого аргумента t,f: R3 ^ R, а h — положительное число - запаздывание. Такие уравнения называются дифференциально-разностными уравнениями с запаздыванием.
В данной работе решается задача аналитического построения области асимптотической устойчивости для одного такого дифференциально-разностного уравнения и анализа устойчивости его решения при изменении начальных параметров с помощью среды MATLAB.
Купить