Введение. Обзор литературы 3
Постановка задачи 5
Глава 1. Сравнительный анализ методов синтеза управлений 7
§ 1.1. Стабилизация программных движений по принципу обратной связи 8
§ 1.2. Метод позиционной оптимизации Габасова 17
§ 1.3. Выводы по главе 1 23
Глава 2. Синтез управлений в линейных системах 25
§ 2.1. Линейная нестационарная система 25
§ 2.2. Алгоритм построения позиционного управления 29
§ 2.3. Линейная однородная стационарная система 29
§ 2.4. Численный анализ свойств позиционного управления 31
§ 2.5. Комбинированный алгоритм синтеза управлений в линейных системах 35
§ 2.6. Выводы по главе 2 37
Глава 3. Синтез управлений в билинейных системах 38
§ 3.1. Билинейная однородная система общего вида 38
§ 3.2. Билинейная система с линейной структурой параметров 39
§ 3.3. Численная реализация 40
Заключение 42
Литература 43
Приложения 47
Начиная примерно с середины XX века до настоящего времени математическая теория управления получила существенное развитие. Методы решения различных задач управления были разработаны такими выдающимися учеными как, Л. С. Понтрягин [1], Н. Н. Красовский [2], В. И. Зубов [3,4], Р. Калман [5,6] и другими исследователями. Основными являются задачи программного управления, задачи стабилизации, а также проблемы оптимального управления и оптимизации систем управления. Специфика методов и подходов определяется сущностными свойствами объектов управления и соответствующим выбором математической модели (линейные или нелинейные, стационарные или нестационарные). При этом практика применения методов и реализация алгоритмов требуют учета специфики реальных условий эксплуатации разрабатываемых систем управления. Например, реализация только программных управлений возможна исключительно в идеальных условиях. Выясняется, что движение в реальной среде сопряжено с внешними возмущениями, которые невозможно учесть в рамках математической модели. Так возникает потребность в комбинировании методов программного управления и стабилизации программных движений по принципу обратной связи [3-8].
Еще одним из аспектов разработки методов синтеза позиционных управлений является возможность их реализации в режиме реального времени. Быстродействие современных бортовых компьютеров позволяет проектировать системы управления на альтернативных принципах, закладывать возможность расчета управляющих сигналов непосредственно в процессе движения объекта управления. В этом направлении существенных результатов добилась научная школа под руководством Р. Габасова и Ф. М. Кирилловой [9-14]. Основная идея авторов данного подхода также связана с комбинированием различных алгоритмов для достижения конечной цели управления. Речь идет о сведении проблемы оптимального управления к интервальной задаче линейного программирования. Это оказывается возможным при дискретном характере управляющих сигналов. Различные приложения свидетельствуют о работоспособности данного подхода [12,14-18].
Еще одним направлением разработки комбинированных алгоритмов управления являются подходы, связанные с построением вспомогательных линейных управляемых систем для более сложных по структуре нелинейных объектов. В некоторых случаях результаты построения управлений в линейных системах можно использовать для управления соответствующим нелинейным объектом.
К такому классу относятся, в частности, билинейные системы управления. Они широко используются для математического моделирования процессов в различных областях науки. Начиная с работ Р. Р. Мохлера (R. R. Mohler) [19-21], существует значительный интерес к использованию билинейных систем как математических моделей для описания поведения технических, экономических и биологических объектов. Кроме того, известны некоторые методы [22, 23] для аппроксимации нелинейных систем управления с помощью билинейных систем.
Билинейные системы по своей сути близки к линейным системам. Они возникают, когда параметры линейной модели могут быть изменены и рассматриваются в качестве управляющих параметров (см., например, [24,25]). Это дает возможность использовать некоторые результаты математической теории линейных систем управления для задач синтеза управления в классе билинейных систем. Это относится, прежде всего, к методам построения программных и стабилизирующих управлений [3-6], а также к задачам многопрограммного управления [26,27].
В монографии [3] показано, что программное управление для линейной системы, переводящее ее в начало системы координат за конечное время, может быть представлено в эквивалентной форме позиционного управления. При этом замкнутая система имеет структуру, близкую к билинейной управляемой системе. В данной работе на основе этого свойства предложен метод синтеза управлений в билинейных однородных системах. Для его разработки потребовалось изучить предельные свойства позиционного управления для вспомогательной линейной системы, и построить соответствующий комбинированный алгоритм синтеза управления. В пакете MATLAB разработан набор компьютерных программ, которые протестированы на модельных примерах.
Перечислим основные результаты работы, выносимые на защиту:
• проведен сравнительный анализ основных методов синтеза управлений в линейных системах, отмечены их сильные и слабые стороны в плане практической реализации и области приложений;
• проведен численный анализ предельных свойств позиционного управления в линейных системах, построенного по методу Зубова;
• разработан комбинированный алгоритм синтеза управлений в линейных системах;
• предложен подход к решению задач синтеза управлений в билинейных системах;
• в пакете MATLAB разработан набор программ, реализующих алгоритмы описанных методов;
• работа программ протестирована на модельных примерах;
• результаты работы частично опубликованы.
