Введение 1
§1. Исправление ступенчатых функций 1
§2. Исправление функции, по модулю равной единице 7
Список литературы 11
Купить

Около 6 лет назад Ф.Л. Назаров и А.М. Олевский (см. [1]) построили множество конечной меры на прямой, преобразование Фурье характеристической функции ко­торого сосредоточено на довольно тонком множестве. Это утверждение выглядит как кульминация предшествующих результатов о подобных “нарушениях принципа неопределенности” (краткий, но информативный их обзор приведён во введении к [1]). Однако по-существу в [1] было найдено короткое и изящное рассуждение, в основе которого лежит нелинейное построение специального ортогонального ряда и которое не использовало работы предшественников.
Впоследствии выяснилось, что метод Назарова и Олевского допускает обобщения. Оказалось, что множество конечной меры — такое, как у них, — можно получить из любого множества конечной меры малым изменением, см. [2]. Более того, подобный результат верен для любой недискретной локально компактной абелевой группы. Ес­ли же группа конечномерна, можно ещё вдобавок обеспечить равномерную ограни­ченность частичных сумм (или интегралов) Фурье у характеристической функции исправленного множества.
В этой работе мы продолжим изучение указанного метода. Точная формулировка и обсуждение приведены в §1.
В §2 мы обсудим модификацию метода Назарова и Олевского применительно к другой задаче. Их метод в какой-то мере (но не в конкретных деталях) перекликается с методом, предложенным А.Б. Александровым в работе [4] для построения внутрен­ней функции в шаре и получения других подобных результатов. У Александрова цель тоже достигалась путём построения некоторого специального ортогонального ряда. Мы используем идеи работ [1-3] для построения чего-то вроде внутренней функции, а точнее — функции, по модулю равной единице, со спектром, ограниченным с одной стороны, и большими лакунами. На этот раз мы будем исправлять до такой функции произвольную измеримую функцию на окружности с единичным модулем. Точная формулировка — в §2.
Купить