О методах решения линейно-квадратичных дифференциальных игр

Введение 3
Обзор литературы 5
Глава 1. Линейно-квадратичные дифференциальные игры эксплуатации ресурсов 6
Общее описание игры 6
Задача оптимального управления 9
Упрощение интегрального функционала кооперативной линейно-квадратичной дифференциальной игры 10
Потенциальные игры 11
Глава 2. Об упрощении интегрального функционала кооперативной линейно-квадратичной игры на примере задачи оптимального управления объемом вредных выбросов 14
Постановка задачи 14
Упрощение функции выигрыша в линейно-квадратичной дифференциальной игре 14
Решение кооперативной игры методом максимума Понтрягина . 16
Численный пример 18
Решение кооперативной игры с помощью уравнения Гамильтона—
Якоби—Беллмана 19
Глава 3. О решении линейно-квадратичной дифференциальной игры методом потенциала на примере задачи оптимального управления инвестициями в рекламу 22
Постановка задачи 22
Потенциал игры 22
Применение метода потенциала в решении дифференциальной игры 23
Численный пример 27
Глава 4. О решении линейно-квадратичной дифференциальной игры при известном виде оптимального управления 29
Выводы 31
Заключение 32
Список литературы 33

Купить

Дифференциальные игры являются удобным математическим аппаратом для изучения различного рода конфликтно-управляемых задач. В современной экономике огромное число разнообразных процессов может быть описано именно с помощью дифференциальных игр, очень часто имеющих линейно-квадратичную структуру. В частности, такие разноплановые, но актуальные в настоящий момент экономические задачи, как управление объемом вредных выбросов или инвестирование компанией средств в рекламу, описываются именно дифференциальными линейно-квадратичными играми.
В связи с широким использованием упомянутых моделей, неизбежно, что решение игр данного типа носит приоритетный характер. В линейно-квадратичных моделях можно выделить отдельные классы игр, которые могут быть решены за счет некоторых своих структурных особенностей. Именно таким классам игр, а также методам, позволяющим упростить поиск их аналитического решения, и посвящена данная работа.
В главе I осуществляется формальная постановка задачи оптимального управления эксплуатацией ресурсов, объединяющей в себе в том числе и задачу управления объемом вредных выбросов, и задачу управления инвестициями в рекламу. Рассматривается теоретическая база, используемая для решения задач данного типа: принцип максимума Понтрягина и уравнение Гамильтона—Якоби—Беллмана. Дополнительно рассмотрены метод упрощения интегрального функционала линейно-квадратичной дифференциальной игры и метод потенциала. Данные методы позволяют облегчить поиск аналитического решения линейно-квадратичных дифференциальных игр в тех случаях, когда применение принципа максимума Понтрягина и уравнения Гамильтона—Якоби—Беллмана затруднено.
В главе II более подробно рассматривается метод, позволяющий упростить интегральный функционал линейно-квадратичной дифференциальной игры путем замены фазовой переменной. Детально изучается применение данного метода на примере задачи оптимального управления вредными выбросами в кооперативной постановке для числа игроков п = 3. Аналитическое решение данной задачи будет найдено двумя способами: с помощью принципа максимума Понтрягина и с помощью уравнения Гамильтона— Якоби—Беллмана. Также рассматривается численный пример задачи, в котором использованы значения параметров, полученные экспериментальным путем.
В главе IIIрассмотрено применение метода потенциала при решении линейно-квадратичных дифференциальных игр на примере задачи оптимального управления инвестициями в рекламу. Игра изучается в некооперативной постановке с дисконтированием e~ptна бесконечном промежутке времени для числа игроков п = 2. Рассматривается также численный пример задачи.
В главе IV рассмотрен дополнительный метод решения линейно-квадратичной дифференциальной игры, применимый в том случае, когда известен вид искомого оптимального управления. Метод будет применен для решения задачи оптимального управления вредными выбросами в некооперативной постановке для числа игроков п = 3.

Купить