Тема: О методах решения линейно-квадратичных дифференциальных игр

Дифференциальные игры являются удобным математическим аппаратом для изучения различного рода конфликтно-управляемых задач. В современной экономике огромное число разнообразных процессов может быть описано именно с помощью дифференциальных игр, очень часто имеющих линейно-квадратичную структуру. В частности, такие разноплановые, но актуальные в настоящий момент экономические задачи, как управление объемом вредных выбросов или инвестирование компанией средств в рекламу, описываются именно дифференциальными линейно-квадратичными играми.
В связи с широким использованием упомянутых моделей, неизбежно, что решение игр данного типа носит приоритетный характер. В линейно-квадратичных моделях можно выделить отдельные классы игр, которые могут быть решены за счет некоторых своих структурных особенностей. Именно таким классам игр, а также методам, позволяющим упростить поиск их аналитического решения, и посвящена данная работа.
В главе I осуществляется формальная постановка задачи оптимального управления эксплуатацией ресурсов, объединяющей в себе в том числе и задачу управления объемом вредных выбросов, и задачу управления инвестициями в рекламу. Рассматривается теоретическая база, используемая для решения задач данного типа: принцип максимума Понтрягина и уравнение Гамильтона—Якоби—Беллмана. Дополнительно рассмотрены метод упрощения интегрального функционала линейно-квадратичной дифференциальной игры и метод потенциала. Данные методы позволяют облегчить поиск аналитического решения линейно-квадратичных дифференциальных игр в тех случаях, когда применение принципа максимума Понтрягина и уравнения Гамильтона—Якоби—Беллмана затруднено.
В главе II более подробно рассматривается метод, позволяющий упростить интегральный функционал линейно-квадратичной дифференциальной игры путем замены фазовой переменной. Детально изучается применение данного метода на примере задачи оптимального управления вредными выбросами в кооперативной постановке для числа игроков п = 3. Аналитическое решение данной задачи будет найдено двумя способами: с помощью принципа максимума Понтрягина и с помощью уравнения Гамильтона— Якоби—Беллмана. Также рассматривается численный пример задачи, в котором использованы значения параметров, полученные экспериментальным путем.
В главе IIIрассмотрено применение метода потенциала при решении линейно-квадратичных дифференциальных игр на примере задачи оптимального управления инвестициями в рекламу. Игра изучается в некооперативной постановке с дисконтированием e~ptна бесконечном промежутке времени для числа игроков п = 2. Рассматривается также численный пример задачи.
В главе IV рассмотрен дополнительный метод решения линейно-квадратичной дифференциальной игры, применимый в том случае, когда известен вид искомого оптимального управления. Метод будет применен для решения задачи оптимального управления вредными выбросами в некооперативной постановке для числа игроков п = 3.

Купить

В ходе проделанной работы были рассмотрены различные методы решения дифференциальных игр с линейно-квадратичной функцией выигрыша на примере игр эксплуатации ресурсов.
Было проделано преобразование фазовой переменной для кооперативной игры управления выбросами в атмосферу, позволившее структурно упростить интегральный функционал игры. Показано, что применение данного метода значительно упрощает поиск решения рассмотренной задачи.
Также в работе был предложен новый путь решения дифференциальной игры управления ресурсами в рекламную кампанию. Было показано, что игра данного типа принадлежит классу потенциальных игр, решение которых может быть упрощено с помощью нахождения потенциала игры и сведения задачи к соответствующей задаче оптимального управления.

Купить