ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. КООПЕРАТИВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С ДИНАМИЧЕСКИМ ОБНОВЛЕНИЕМ ИНФОРМАЦИИ 12
§ 1. Определение усеченной подыгры 12
§ 2. Решение кооперативной усеченной подыгры 15
§ 3. Концепция решения в исходной игре с динамическим обновлением информации 18
§ 4. Построение характеристической функции в игре с динамическим обновлением информации 25
§ 5. Связь решения в усеченных подыграх и результирующего решения 28
§ 6. Кооперативная игра добычи ограниченного ресурса с динамическим обновлением информации 38
ГЛАВА 2. КООПЕРАТИВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С ПРЕДПИСАННОЙ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬЮ И СО СЛУЧАЙНЫМ ОБНОВЛЕНИЕМ ИНФОРМАЦИИ 49
§ 1. Определение случайной усеченной подыгры 49
§ 2. Решение кооперативной случайной усеченной подыгры 51
§ 3. Концепция решения в исходной игре со случайным обновлением информации 53
§ 4. Кооперативная игра добычи ограниченного ресурса со случайным обновлением информации 56
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Купить

Актуальность темы. Теория дифференциальных игр в настоящее время является одним из наиболее бурно развивающихся разделов математической теории игр. Главным образом это связано с тем, что математический аппарат дифференциальных игр позволяет реалистично моделировать конфликтно-управляемые процессы, непрерывно развивающиеся во времени. Так динамика фазовой переменной, описывающей состояние процесса, задается системой дифференциальных уравнений на некотором временном промежутке заданной продолжительности.
Теория дифференциальных игр сформировалась как отдельный раздел математической теории игр в пятидесятых годах двадцатого века. Одними из первых интересные результаты в этой области получили Р. Айзекс, Л. Берковитц [33], В. Флеминг [36]. Долгое время исследования были посвящены в основном антагонистическим дифференциальным играм. Значительные успехи в данной области связаны с представителями отечественной научной школы Н. Н. Красовским [11, 12], Л. С. Понтрягиным [25], Е. Ф. Мищенко, Б. Н. Пшеничным, Л. А. Петросяном [20].
Толчком для развития теории неантагонистических дифференциальных игр послужили задачи конфликтного управления со многими участниками из различных практических областей. В качестве принципа оптимальности в неантагонистических дифференциальных играх чаще всего рассматривается равновесие по Нэшу в программных или позиционных стратегиях. Основные результаты, посвященные исследованию вопроса существования и проблемы построения равновесия по Нэшу, получены в работах А. Ф. Клейменова [7, 8], А. Ф. Кононенко [9], С. В. Чистякова [29].
Особый интерес представляют также кооперативные дифференциальные игры [5, 6, 18, 21]. Естественным подходом к изучению кооперативных дифференциальных игр, как игр дележей, является попытка переноса результатов классической кооперативной теории "однократных" игр Неймана-Моргенштерна [13]. Однако при использовании результатов классической теории необходимо дополнительно исследовать вопрос о динамической и сильно динамической устойчивости полученного решения. Попытки применения динамически неустойчивых принципов оптимальности при решении прикладных задач в области экономики, экологии, менеджмента приводят к не реализуемости таких принципов, поскольку в некоторый момент времени возникают условия, когда соглашение о кооперации могут быть пересмотрено. Это обстоятельство впервые было замечено Л. A. Петросяном в 1977 году. В [14] он сформулировал строгое математическое определение динамической устойчивости принципа оптимальности (кооперативного решения), а в работе [17] предложен способ решения проблемы динамической неустойчивости кооперативного решения при помощи схемы выплат, получившей название процедуры распределения дележа (ПРД). Определение сильной динамической устойчивости впервые было дано в работе [15]. Исследованиям проблемы динамической устойчивости посвящены работы [4, 18, 19, 21] и др.
В литературе по кооперативной теории игр и ее приложениям в качестве кооперативного решения часто применяется C-ядро. В частности, в работе [27] приводятся условия существования сильно динамически устойчивого C-ядра в кооперативных динамических (дискретных) играх. В работе [2] впервые были сформулированы достаточные условия для выполнения сильной динамической устойчивости кооперативного решения в неантагонистической дифференциальной игре двух лиц, а в работе [37] данная проблема изучалась для игры трех лиц.
Теория кооперативных дифференциальных игр изучает вопросы построения оптимальных (кооперативных) решений в конфликтно-управляемых процессах со многими участниками на определенном временном интервале. Но множество подобных процессов развивается во времени непрерывно, а их участники непрерывно получают обновленную информацию и адаптируются. Именно для таких процессов был предложен подход позволяющий моделировать кооперативные игры с динамическим обновлением информации. Но возникает много вопросов, например, как для таких игр построить кооперативную траекторию, стратегии, ее порождающие, суммарный выигрыш вдоль кооперативной траектории, определить распределение суммарного выигрыша между игроками.
В выпускной квалификационной работе описывается новый подход к определению решения кооперативной дифференциальной игры в условиях, когда игроки не имеют полную информацию об игре (уравнения движения, функция выигрыша) на всем временном интервале, на котором задана игра. В любой момент времени игроки принимают решение, используя информацию на временном интервале с продолжительностью меньшей, чем продолжительность исходной игры. Информация об игре обновляется в определенные моменты времени и неизвестна заранее. Согласно описанному подходу решение в игре определяется как комбинация решений в усеченных подыграх. В выпускной квалификационной работе предложен метод для построения кооперативной траектории и соответствующего решения. Ключевым для построения решения является понятие усеченной подыгры, в рамках которой удается описать поведение игроков между моментами обновления информации. Оказывается, что в подобных играх любое построенное решение обладает свойством сильной динамической устойчивости.
В выпускной квалификационной работе были исследованы несколько моделей и подходов для определения решений в кооперативных дифференциальных играх с динамическим обновлением информации. Для кооперативных дифференциальных игр с предписанной продолжительностью и динамическим обновлением информации было определено понятие усеченной подыгры, предложены способы построения условно кооперативной траектории и решений обладающих свойством At-сильной динамической устойчивости. Аналогичный результат получен для кооперативных дифференциальных игр с бесконечной продолжительностью. Была также рассмотрена модель, когда игроки, получая обновленную информацию о структуре игры, не имели точной информации, в течение какого срока эта информация будет является актуальной. Единственное, что им было известно, это то, что информационный горизонт является случайной величиной. Подобный класс игр назван в выпускной квалификационной работе кооперативными дифференциальными играми с предписанной продолжительностью и со случайным обновлением информации. Для них введено понятие случайной подыгры. В описанных постановках в качестве исходного кооперативного решения использовались вектор Шепли, пропорциональное решение, С-ядро и сильно динамически устойчивое ПРД-ядро.
Дифференциальные игры со случайной продолжительностью в общей постановке были введены в работе Л. А. Петросяна и Е. В. Шевкопляс [16]. В работе рассматривались дифференциальные игры со многими участниками, при этом момент окончания игры не был определен заранее, а представлял собой реализацию некоторой случайной величины с известной функцией распределения. В работах Е. В. Шевкопляс [30, 31] были продолжены исследования кооперативных дифференциальных игр со случайной продолжительностью, получены важные результаты, относящиеся к проблеме динамической устойчивости кооперативных принципов оптимальности.
Цели и задачи исследования. Целью выпускной квалификационной работы является формализация и построение оптимальных решений о распределении выигрышей в конфликтно-управляемых процессах со многими участниками, когда информация о процессе обновляется динамически с течением времени. Для достижения поставленной цели в работе ставятся и решаются следующие задачи:
1. Формализация поведения игроков на периодах между моментами времени, когда информация об игре обновляется, т.е. построение усеченных подыгр.
2. Исследование каждой усеченной подыгры, нахождение кооперативной траектории, построение характеристической функции вдоль кооперативных траекторий, получение оптимального решения.
3. Нахождение результирующего решения для игры, определенной на совокупности всех временных интервалов.
4. Формализация общей кооперативной игры, определенной на совокупности всех временных интервалов, определение характеристической функции для игры с динамическим обновлением информации.
5. Исследование свойства сильной динамической устойчивости (сильной временной состоятельности) результирующего решения дифференциальной кооперативной игры.
6. Построение результирующего решения, соответствующего набору классических решений в каждой усеченной подыгре, а именно пропорционального решения, вектора Шепли, C-ядра, сильно динамически устойчивого ПРД-ядра.
7. Исследование связи результирующего решения и решения в каждой усеченной подыгре, а именно пропорционального решения, вектора Шепли, C-ядра, сильно динамически устойчивого ПРД-ядра.
8. Изучение различных вариантов или моделей игр с динамическим обновлением информации, а именно: кооперативные дифференциальные игры с динамическим обновлением информации, с предписанной или бесконечной продолжительностью, кооперативные дифференциальные игры со случайным обновлением информации.
9. Апробация полученных теоретических результатов на теоретико-игровой модели добычи ограниченного ресурса, демонстрация свойства сильной динамической устойчивости полученного решения.
Научная новизна полученных результатов. Научная новизна работы заключается в том, что в ней:
1. Построены и исследованы новые математические модели дифференциальной игры с динамическим обновлением информации с предписанной и бесконечной продолжительностью, дифференциальной игры со случайным обновлением информации.
2. Предложены конструктивные методы нахождения результирующего ко-оперативного решения в дифференциальных играх с динамическим обновлением информации с предписанной и бесконечной продолжительностью, дифференциальных играх со случайным обновлением информации.
3. Предложена процедура построения характеристической функции в играх с динамическим обновлением информации на основе значений характеристических функций в усеченных подыграх.
4. Доказаны теоремы о сильной At-динамической устойчивости в дифференциальных играх с динамическим обновлением информации с предписанной и бесконечной продолжительностью, дифференциальных играх со случайным обновлением информации.
5. Определена связь кооперативного решения в игре с динамическим обновлением информации и кооперативных решений (пропорциональное решение, вектор Шепли, C-ядро, сильно динамически устойчивое ПРД-ядро), в каждой усеченной подыгре.
Практическая значимость. Полученные в выпускной квалификационной работе результаты представляют практический интерес. Кооперативные дифференциальные игры с динамическим обновлением информации, а также их различные варианты являются удобными математическими моделями для описания процессов, происходящих в экономике, экологии, менеджменте и прочих сферах человеческой деятельности.
Методология и методы исследования. В процессе проведения исследования автор опирался на научную методологию проведения исследования, общепризнанные принципы и подходы к исследовательской деятельности в области прикладной математики, методы теории оптимизации и теории игр.
Структура и основное содержание работы. Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, заключения, списка используемой литературы, включающего 48 наименований. Объем составляет 73 страниц машинописного текста. Работа содержит 18 рисунков.
Первая глава посвящена описанию и изучению кооперативных дифференциальных игр с динамическим обновлением информации, как с предписанной продолжительностью так и с бесконечной продолжительностью. Для кооперативных дифференциальных игр с динамическим обновлением информации определено понятие усеченной подыгры, построена условно кооперативная траектория, построено решение. Было показано, что решение обладает свойством At-сильной динамической устойчивости. Также была показана связь между решениями, выбранными игроками в усеченных подыграх и в общей игре. Было введено понятие характеристической функции для общей игры, с помощью нее и решения для общей игры удалось показать, что решения, выбранные игроками в усеченных подыграх, соответствуют результирующему решению, построенному на основе новой характеристической функции. В § 1 приводится определение усеченной подыгры, объясняется каким образом на основе этого понятия можно смоделировать поведение игроков. В § 2 описывается решение усеченной подыгры, строится условно-кооперативная траектория. В § 3 на основе результатов в параграфе 2 строиться решение в игре с динамическим обновлением информации, доказывается свойство сильной At-динамической устойчивости. § 4 посвящен построению характеристической функции в игре с динамическим обновлением информации. В § 5 описывается и формализуется математически связь решений выбранных игроками в усеченных подыграх с результирующим решением в исходной игре с динамическим обновлением информации. В § 6 демонстрируется использование теоретических результатов для кооперативной игры добычи ограниченного ресурса трех лиц с предписанной продолжительностью и динамическим обновлением информации, в качестве принципа оптимальности используется C-ядро. Приводятся результаты численного моделирования в среде Matlab.
Вторая глава посвящена описанию и изучению кооперативных дифференциальных игр с предписанной продолжительностью и случайным обновлением информации. В этом случае игроки, получая обновленную информацию о структуре игры, не имеют точной информации, в течение какого срока эта ин-формация будет верна. Единственное, что им известно, это то, что величина информационного горизонта является случайной величиной. Понятие усеченной подыгры здесь основано на понятии дифференциальной игры со случайной продолжительностью и она названа случайной подыгрой. В качестве кооперативного решения этой подыгры использовалось сильно динамически устойчивое ПРД-ядро. Для построения С-ядра и сильно динамически устойчивого ПРД- ядро была доработана классическая кооперативная игра добычи ограниченного ресурса для случая трех игроков. В § 1 приводится определение случайной усеченной подыгры, объясняется, каким образом на основе этого понятия можно смоделировать поведения игроков, которые получают точную информацию об игре, но уверены только в вероятностных характеристиках длительности этой информации. В § 2 описывается сильно динамически устойчивое ПРД-ядро, как решение случайной усеченной подыгры, строится условно-кооперативная траектория. В § 3 описывается решение в игре с динамическим обновлением информации, доказывается свойство сильной динамической устойчивости полученного решения. В § 4 теоретические результаты применяются для кооперативной игры добычи ограниченного ресурса трех лиц, демонстрируется свойство сильной динамической устойчивости выбранного решения, приведены результаты численного моделирования в среде Matlab.
Степень достоверности и апробация результатов исследования. Достоверность полученных результатов основана на строгом доказательстве всех сформулированных математических утверждений. По теме выпускной квалификационной работы опубликовано 5 работ, две из которых ([22], [23]) - в изданиях, рекомендуемых Высшей аттестационной комиссией (ВАК) для публикации основных научных результатов. Публикации [38], [40], [41] индексируются в базе данных Scopus. В работе [23] аспирант построил новое решение для кооперативных дифференциальных игр с предписанной продолжительностью, обладающее свойствами сильной динамической устойчивостью - ПРД-ядро. В работе [41] аспирантом была построена модель кооперативных дифференциальных игр с динамическим обновлением информации и стохастическим прогнозом, для этого класса игр было получено решение и доказано свойство сильной At- динамической устойчивости. В работе [38] аспирантом была сформулирована и решена задача определения в некотором смысле оптимального информационного горизонта.
Основные результаты были представлены на семинарах кафедры математического моделирования энергетических систем, на семинарах Центра теории игр, на международной конференции "Game Theory and Management"(Санкт- Петербург, 2015 и 2016 гг.), "Workshop on the Game Theory and Social Choice"(Будапешт, 2015 г.), на XIII международной конференции "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления"(Москва, 2016 год).
Положения и результаты, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты, полученные в ходе исследования:
1. Построены и исследованы новые математические модели дифференциальной игры с динамическим обновлением информации с предписанной и бесконечной продолжительностью, дифференциальной игры со случайным обновлением информации.
2. Предложены конструктивные методы нахождения результирующего ко-оперативного решения в дифференциальных играх с динамическим обновлением информации с предписанной и бесконечной продолжительностью, дифференциальных играх со случайным обновлением информации.
3. Предложена процедура построения характеристической функции в играх с динамическим обновлением информации на основе значений характеристических функций в усеченных подыграх.
4. Доказаны теоремы о сильной At-динамической устойчивости в дифференциальных играх с динамическим обновлением информации с предписанной и бесконечной продолжительностью, дифференциальных играх со случайным обновлением информации.
5. Определена связь кооперативного решения в игре с динамическим обновлением информации и кооперативных решений (пропорциональное решение, вектор Шепли, C-ядро, сильно динамически устойчивое ПРД-ядро), в каждой усеченной подыгре.
Купить