Введение 4
Глава 1. Сведение дифференциальных уравнений к полиномиальной форме 7
1.1 Метод дополнительных переменных 7
1.2 Примеры 10
Глава 2. Схемы и быстрое вычисление систем мономов многих переменных 15
2.1 Основные определения 15
2.2 Быстрое вычисление систем мономов многих переменных 17
2.2.1 Системы мономов до третьей степени 18
2.2.2 Системы мономов третьей степени и выше 19
2.3 Примеры построения схем 20
Глава 3. Методы рядов Тейлора 24
3.1 Метод рядов Тейлора для полиномиальных систем 24
3.1.1 Коэффициенты Тейлора 24
3.1.2 Формулировка метода рядов Тейлора 27
3.1.3 Оценки локальной погрешности 28
3.1.4 Вспомогательные алгоритмы 29
3.1.5 Общий алгоритм метода рядов Тейлора 32
3.2 Реализация метода рядов Тейлора (МРТ) 33
Глава 4. Численные эксперименты 37
4.1 Произвольный набор мономов 37
4.2 Задача N тел 38
Заключение 40
Список литературы 41
Список таблиц 53
Приложение A. Программа расчёта схемы 54
Купить

Вначале рассмотрим структуру работы: кратко изложим её содержание по главам, скажем о её практической значимости и результатах, сформулиру­ем цели работы, её актуальность, новизну и положения, выносимые на защиту. Далее более обстоятельно обсудим связанные с нашей работой проблемы ма­тематического моделирования динамических процессов и основные проблемы, решаемые в работе.
В первой главе "Сведение дифференциальных уравнений к полиномиаль­ной форме" изложены необходимые понятия, и приводится алгоритм метода дополнительных переменных и алгоритм сведения дифференциальных урав­нений к полиномиальной форме, метод применим как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для полных систем дифференциальных уравнений в частных производных. Рассмотрено пять примеров сведения.
Во второй главе "Схемы и быстрое вычисление систем мономов многих переменных" представлены необходимые определения, сформулирована задача быстрого вычисления систем мономов многих переменных, представлен алго­ритм решения проблемы и приведены примеры, показывающие эффективность работы алгоритма.
В третьей главе "Методы рядов Тейлора" представлены алгоритм реали­зации метода рядов Тейлора, алгоритм вычисления коэффициентов Тейлора, оценка локальной погрешности, вспомогательные алгоритмы и общий алгоритм метода рядов Тейлора.
В четвертой главе "Численные эксперименты" представлен численный анализ эффективности схем как на произвольном наборе мономов, так и на примере задачи N тел в различных полиномиальных формах.
Целью данной работы является разработка общих подходов, методов и алгоритмов моделирования в символьной и численной формах в задачах Дина­мики, основанных на применении систем дифференциальных уравнений.
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
1. Разработать детали построения схем,
2. Реализовать алгоритмы построения схем для произвольного набора мо­номов,
3. Разработать компьютерные программы, реализующие алгоритмы по­строения схем.
4. Провести численные эксперименты, исследовать эффективность разра­ботанных алгоритмов.
Научная новизна:
1. Впервые представлены алгоритмы построения схем для быстрого вы­числения произвольного набора мономов.
2. Впервые выполнено исследование, показавшее высокую эффектив­ность представленных алгоритмов для численного интегрирования произвольных полиномиальных систем дифференциальных уравнений.
Практическая значимость. Ускорение численного интегрирования дифференциальных уравнений в полиномиальной форме, описывающих как ре­альные, так и статистически сформированные модели.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Построение и полный анализ алгоритмов и соответствующих компьютер­ных программ построения схем вычисления всех мономов произвольно­го набора мономов.
2. Численные эксперименты для реальных и статистически сформирован­ных моделей Динамики.
Достоверность. Все результаты работы получены строгими математи­ческими методами, проверены при помощи многочисленных вычислений и опираются на шесть публикаций в российских и международных рецензи­руемых журналах. Все эти результаты докладывались на многочисленных международных конференциях.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международной научной конференции "Процессы управления и устойчивость" (г. Санкт-Петербург, март 2016 г.), международной конференции "Устойчи­вость и колебания нелинейных систем управления (конференция Пятницкого)" (г. Москва, июнь 2016 г.), на 14th и 15th "International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics" (г. Родос и г. Салоники, Греция, сентябрь 2016 г. и сентябрь 2017 г.), международной научной конференции по меха­нике "VIII Поляховские чтения" (г. Санкт-Петербург, февраль 2018 г.) и на "International Multidisciplinary Scientific GeoConference Surveying, Geology and Mining, Ecology and Management" (г. София, Болгария, июль 2019 г.).
Личный вклад. Автор принимал активное участие в разработке и импле­ментации алгоритмов построения схем и проведении анализа эффективности представленных алгоритмов. Все результаты, представленные в работе, полу­чены лично автором.
Публикации. Основные результаты изложены в 6 печатных изданиях [3, 22, 26, 30, 35, 43], 5 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Полный объём работы составляет 55 страниц, включая 3 табли­цы. Список литературы содержит 127 наименований.
Купить