Заказать работу


Тип работы:
Предмет:
Язык работы:


Оптимизация алгоритма D-MORPH для реализации квантовых гейтов

Работа №75649
Тип работыДипломные работы, ВКР
Предметматематика
Объем работы145
Год сдачи2018
Стоимость4380 руб.
ПУБЛИКУЕТСЯ ВПЕРВЫЕ
Просмотрено 19
Не подходит работа?

Узнай цену на написание

Введение 4
1 Обзор предметной области 16
1.1 Квантовый компьютер 16
1.1.1 Основные блоки 16
1.1.2 Особенности 21
1.1.3 Кодирование состояний 24
1.1.4 Квантовое шифрование 24
1.1.5 Реализация гейтов 25
1.1.6 Подходи! К вычислениям 26
1.1.7 Физические реализации квантового компьютера 27
1.1.8 Рабочие прототипы квантовых компьютеров 29
1.2 Оптимальное управление квантовыми системами 32
1.2.1 Модели квантовых систем 32
1.2.2 Схемы управления 33
1.2.3 Управляемость квантовых систем 36
1.2.4 Интегрирование динамики квантовых систем 38
1.2.5 Методы вычисления операторных экспонент 40
1.2.6 Методы построения управлений 41
1.2.7 Принцип ландшафта 53
Заключение к главе 54
2 Метод D-MORPH и поправки к нему 55
2.1 Модель квантовой системы с управлениями. Постановка задачи . 55
2.2 Метод D-MORPH 61
2.3 Вывод поправок. Метод 1 66
2.4 Вывод поправок. Метод 2 70
2.5 Формальное сравнение методов 73
Заключение к главе 75
3 Численный эксперимент 76
3.1 Система для эксперимента 76
3.2 Сравниваемые методы 78
3.3 Структура экспериментов 79
3.4 Результаты экспериментов 84
3.4.1 Гейт CNOT 85
3.4.2 Гейт SWAP 90
3.4.3 Гейт VSWAP 95
3.4.4 Гейт Н2 100
3.5 Анализ результатов 105
Заключение к главе 106
Заключение 106
Приложение 1. Основные сведения из квантовой механики 108
Список литературы

Квантовый компьютер — физическое устройство, работающее по законам квантовой механики, которое способно хранить, преобразовывать и выводить квантовую и классическую информацию используя законы квантового мира. Считается, что полностью функционирующий и обладающий большим объемом квантовых регистров квантовый компьютер позволит решить многие из проблем, которые принципиально невозможно за приемлемое время решить на классическом компьютере [8-10]х, например, моделирование больших квантовых систем за полиномиальное время [80], быстрое моделирование свертки белков для лечения нейродегенеративных болезней [171] и улучшение методов машинного обучения [267]. Благодаря способности квантовых компьютеров эффективно решать целые классы важных для всего человечества задач, область квантовых вычислений привлекает к себе много научного внимания и является активно развивающимся направлением в науке на сегодняшний день и будет оставаться таковым долгое время.
Однако, это направление является и довольно трудным для освоения и исследования, хотя бы из-за того, что квантовая механика — это механика, которую не поймешь на уровне повседневных (то есть “классических”) ощущений и опыта [2,11], механика, приводящая к нескольким интересным и неожиданным для непосвященного наблюдателя эффектам в области вычислений (например, внутренняя параллельность, квантовый туннельный эффект и запрет клонирования информации [8]).
Квантовый компьютер состоит из нескольких логических блоков: кубиты, квантовые логические операции (гейты), измерительные приборы и классический компьютер [8-10]. Кубит — это квантовый бит, аналог классического бита, который может быть в двух “основных” состояниях (0 и 1) и еще во множестве других, находящихся как бы между ними. Квантовый гейт — это логическая
В то же время научным сообществом признается существование многих задач, которые лучше решаются на классических компьютерах [13], например, задача вычисления результата последовательного применения некоторой функции некоторое число раз к самой себе [117].
операция, применяемая к одному или нескольким кубитам для изменения их состояния. Измерительные приборы служат для считывания значений кубитов как в процессе вычислений, так и в конечный момент; однако, в отличие от классического случая, каждое измерение кубита приводит к необратимым изменениям его состояния, с чем необходимо каждый раз считаться. Наконец, классический компьютер необходим для управления всеми измерительными при-борами, для управления процессом вычислений и для хранения классического результата вычислений.
На сегодняшний день имеется много жизнеспособных физических реализаций кубита с возможностью управления его состоянием, основанных на эффектах ядерного магнитного резонанса [247], на использовании неоднородностей кристаллических решеток в алмазах [101], на использовании заряженых ионов в электромагнитных ловушках [198], на использовании холодных нейтральных атомов [263], на использовании сверхпроводящих контуров [168], на использовании квантовых точек [195] и на использовании молекулярных внутренних степеней свободы [200]. Однако все эти реализации предполагают использование сложной аппаратуры и создания специальных условий для вычислений, что крайне сложно на практике.
Алгоритмы, созданные специально для квантового компьютера, существенно отличаются от их классических аналогов по форме и внутренней логике исполнения из-за различия в законах, согласно которым работает аппаратура, исполняющая эти алгоритмы. Например, квантовый бит (так называемый кубит) может хранить в некотором смысле большее количество информации, чем классический бит [8-10]. Далее, благодаря принципу квантовой интерференции и особенностям процесса квантовых измерений можно выполнять одновременно несколько различных программ [152] на одном квантовом процессоре (говоря классическим языком, на одном ядре), причем действительно параллельно без переключения контекстов выполнения программ. К тому же благодаря запрету клонирования (копирования) произвольного квантового состояния, при передаче конфиденциальной квантовой информации между двумя сторонами обмена, третьей (подслушивающей) стороне в принципе невозможно перехватить эту квантовую информацию без ее искажения и, следовательно, без риска быть обнаруженной двумя остальными сторонами [8-10,191,279].
Кроме перечисленных выше удивительных особенностей, имеется еще одна, иногда считающаяся самой удивительной и полезной, особенность квантовых вычислений, — квантовая запутанность, — возникающая в результате корреляции квантовых состояний нескольких квантовых систем [2,8-11]. Суть квантовой запутанности проявляется в том, что при измерении состояния одной системы, которая находилась в корреляции с другой системой в предыдущий момент времени, другая система также изменяет свое состояние мгновенно, как будто производится и ее измерение, причем не важно как далеко эти две системы находятся друг от друга в момент измерения, пусть хоть в разных концах Все-ленной, что очевидно нарушает принцип предельности скорости света [8-10,42], но не препятствует наблюдению этого эффекта на практике.
Наряду с удобными для вычислений особенностями квантового мира, имеются и особенности, приводящие к определенным сложностям. Например, из- за принципиальной разрушительности процесса квантовых измерений (то есть считывания квантовой информации), невозможно полностью восстановить ин-формацию, которая хранилась в квантовой системе до момента ее измерения; хуже того, к моменту завершения процесса измерения информация, которая хранилась в квантовой системе, меняется вероятностным образом [8-10], что находится в резком контрасте с процессом измерений в классических вычислениях, где процесс измерения не влияет на хранящуюся информацию.
Имеется еще одна сложность прикладного характера, с которой столкнется все мировое сообщество после появления полностью функционирующего квантового компьютера — теоретически доказано, что мощные квантовые компьютеры будут способны очень быстро взламывать все современные методы шифрования информации [8-10]. Это потребует быстрого перестроения всех под-ходов и систем шифрования информации, что является хоть и непростой, но выполнимой задачей, благо теоретики уже давно разработали методы квантовой криптографии и безопасной передачи ключей шифрования [129].
Вышеперечисленные особенности квантовых вычислений позволяют создавать такие квантовые программы, которые будучи исполнены на мощных квантовых компьютерах будут превосходить по скорости самые совершенные классические алгоритмы. А именно, некоторые задачи, которые допускают решение на классических компьютерах лишь с помощью алгоритмов экспоненциальной сложности, на квантовых компьютерах могут быть решены с помощью алгоритмов полиномиальной сложности [8,13,276], что, очевидно, чрезвычайно сократит время на их решение и, как ожидается, позволит перейти к решению более трудоемких задач, о которых невозможно было ранее и помыслить.
Среди самых известных алгоритмов в области квантовых вычислений, показывающих ускорение по сравнению с классическими аналогами можно выделить: факторизация чисел алгоритмом Шора за полиномиальное время [276], моделирование квантовых феноменов за полиномиальное время [80] и быстрый поиск объектов в неструктурированной базе данных алгоритмом Гровера [8]. Другой известный квантовый алгоритм, который используется как часть многих других квантовых алгоритмов — квантовое преобразование Фурье, которое выполняется экспоненциально быстрее своего классического аналога [335].
Также имеются менее известные алгоритмы, например алгоритм перемножения и накопления чисел [150], где умножение выполняется за O(3 log2n+ 1) операций, an — число кубитов (лучший классический алгоритм требует O(nlog2n) операций). Далее, имеется алгоритм для более быстрого поиска собственных значений гамильтоновых матриц [251]. Из области моделирования квантовых феноменов можно выделить задачу моделирования термодинамических свойств сложных фермионных систем, которые недоступны классическим компьютерам [113,114].
Стоит заметить, что вышеупомянутое превосходство квантовых компьютеров над классическими будет наблюдаться только при использовании квантового компьютера с процессором, состоящим из примерно 107 кубитов, которые можно будет измерять отдельно, и при наличии возможности создания квантовой запутанности между произвольными кубитами [136]. К тому же ошибка в реализации отдельных квантовых гейтов должна быть меньше 10 3 10-4[17]. На сегодняшний день подобных вычислительных устройств пока не построено и от научного сообщества потребуется еще много усилий для решения практических проблем и преодоления различных преград на пути к построению подобного компьютера.
В виду практических сложностей при построении квантовых компьютеров, на данный момент имеется лишь крайне малое количество работающих прототипов квантовых компьютеров (D-Wave [125], IBM [244], Google [243]) и они обладают крайне малым количеством кубитов и ограниченным набором операций. Поэтому до появления практичных и широкодоступных квантовых компьютеров почти все исследования в области квантовых алгоритмов производятся на различных квантовых симуляторах [186,205,252] с использованием специальных языков программирования для них (Q^, QCL, qGCL, QPL...) [245,296,328], в которых имеются компиляторы для разных типов оборудования [295].
Независимо от количества теоретически развитых квантовых алгоритмов и наличия программных симуляторов квантовых вычислений, с физической точки зрения для их реализации на квантовом компьютере необходимо решить задачу квантового управления — перевести квантовую систему, лежащую в основе квантового процессора и квантовой памяти, из одного состояния в другое таким образом, чтобы изменение состояния соответствовало квантовому логическому алгоритму [8-10].
В общем случае управление квантовыми системами — процесс воздействия какого-либо рода на квантовую физическую систему с целью реализации определенной динамики (поведения) этой системы для достижения желаемого со-стояния в конечный момент времени. Решить задачу управления — значит найти управление, реализующее необходимую ученому динамику квантовой системы. Управление квантовыми системами используется во многих областях науки, в частности, как уже было отмечено, задача управления квантовыми системами является основной задачей в области квантовых вычислений [15,27,46, 102,118,126,137,138,141-144,146,147,157,159,165,176,177,185,186,192,193,195, 196,204,220-223,249,253,254,258,259,268,273,274,282,292,311,312,330,332,333]. Реализовать определенное квантовое вычисление — значит реализовать необходимые, заранее определенные переходы между состояниями квантовой системы. Такие заданные переходы реализуются в свою очередь через определенные управляющие воздействия на квантовую систему, которые и вызывают желаемые переходы между состояниями. С алгоритмической точки зрения такие переходы представляют собой квантовые логические гейты, например гейт логического отрицания NOT или гейт преобразования Фурье. Таким образом, вышеописанная задача квантового управления представляет собой основную задачу в рамках теории квантовых вычислений, что приводит к ее неугасающей по сей день актуальности.
Дополнительно к основной задаче управления могут ставиться различные дополнительные цели, которых требуется достичь к моменту окончания процесса управления. Например, можно потребовать перевести систему в определенное состояние и одновременно сделать это с минимальными затратами энергии на управление [3,71,283,284], или произвести этот переход за минимальное время [15,20,30,46,69,259,273,285,287,290,291,293,294], или перевести систему в конечное состояние максимально робастно относительно вариации параметров системы [97,98,119-121,127,180,222,233,303] или обеспечить эволюцию систему по заданному пути [79,116] или возвращаться в начальное состояние в определенные моменты времени [248] или оптимизировать другую цель важную в конкретной задаче. При включении в задачу подобных и других целей управления мы уже сталкиваемся с теорией оптимального управления, которая также привлекает к себе много внимания со стороны научного сообщества, так как на практике всегда необходимо максимизировать или минимизировать какую-нибудь цель — в общем случае в данных задачах имеется определенный заданный критерий качества управления, выраженный через некоторый функционал J[с], зависящий от функций управления с, который требуется оптимизировать, т. е. найти его максимальное или минимальное значение по управлениям, что означает, что такое минимизирующее или максимизирующее управление является наилучшим в данной конкретной задаче с точки зрения заданной цели. В задачах квантовых вычислений теория оптимального управления находит применение в первую очередь для наиболее точной реализации квантовых гей-тов [27,102,126,138,258]. Граница точности определяется как точность, начиная с которой можно применять квантовые коды коррекции ошибок [8].
Стоит учитывать, что в процессе управления реальной квантовой системой на нее постоянно воздействуют окружающие объекты, не входящие в рассматриваемую систему, что приводит к нежелательному и непредсказуемому изменению состояния системы, которая подвергается управлению [216,255,281]. Это означает, что система больше не эволюционирует под влиянием унитарной динамики, а демонстрирует сложную динамику с передачей энергии и ин-формации окружению, причем неконтролируемо и необратимо. Такое связывание, в случае кубита, чаще всего приводит к его релаксации, то есть потере информации. Поэтому теория оптимального управления в рамках квантовых вычислений применяется и для сопротивления разрушительному влиянию на квантовую систему окружающих шумов и других квантовых систем [144,147, 159,165, 216, 222, 223, 237, 255, 275, 281, 289, 291]. Методы теории оптимального управления можно также комбинировать с методами динамического развязывания с окружением, суть которых состоит в применении последовательности мгновенных импульсов к системе для подавления взаимодействия с окружением [25,85,100,224,242,304,316,329].
Кроме этих задач теория оптимального управления в рамках квантовых вычислений применяется для приготовления начального квантового состояния [23, 40,44,67,104,265,305,307-310,312,313], для подавления деструктивного воздействия измерений или использования измерений для содействия эволюции системы [278,318] и для генерации запутанности [141,196,220,274,292,311,332,333], так как квантовая запутанность является основным квантовым феноменом, который, как считается, обеспечит вычислительное превосходство квантовых вычислений над классическими [8].
Еще одна проблема, с которой сталкиваются в квантовых вычислениях на практике и которую можно решить с помощью теории оптимального управления, состоит в том, что физические реализации кубитов часто являются более чем двумерными системами и поэтому состояние кубита “утекает” в третье и последующие состояния, с чем необходимо бороться [27,102,137,185,206,254,302].
К сожалению, на практике всегда в задаче оптимизации реальных квантовых систем имеется более одного критерия качества управления, которые необходимо оптимизировать, причем часто эти критерии противоречат друг другу. К тому же в таких случаях нельзя сказать, что совместная оптимизация всех критериев приведет к решению, оптимизирующему каждый отдельный критерий качества, однако, можно построить множество Парето-оптимальных управлений [78,156,204,299]. Стоит отметить, что в подобных задачах на практике имеется некоторый порог оптимальности, преодолеть который можно только физическим перестроением управляемой квантовой системы, что дает вклад в общую сложность теории оптимального квантового управления.
Говоря общим языком, любая математическая задача оптимального управления начинается с выбора математической модели для описания динамики реальной квантовой системы и выбора схемы оптимизации.
Квантовые модели бывают бесконечномерными и конечномерными [31,75], замкнутыми и открытыми [8-10]. Подавляющее количество научных работ используют конечномерные замкнутые модели, в частности уравнение Шредингера или уравнение Лиувилля [8-10,59,64,76,179], которые в задачах квантовых вычислений приводят к уравнениям на группах Ли, в то время как для описания открытых квантовых систем используются более сложные и приближенные модели: отображения Крауса [225], основные уравнения в форме Линдблада [231] и стохастические основные уравнения [164].
После выбора математической модели квантовой системы построение оптимального управления можно проводить одним из следующих способов.
1. Управление в открытом цикле, где только с помощью некоторого алгоритма на основе описания модели системы находится оптимальное управление [24, 35,105-107,182,201,277].
2. Управление в замкнутом цикле, где итерационно изменяют управление на основе измерения квантовой системы так, чтобы приблизиться к цели управления [24,111].
3. Управление с обратной связью в реальном времени, где в отличие от предыдущего вида в качестве измерительного прибора используется не классическое устройство, а вспомогательный квантовый контроллер [23,164,196,215, 321,324,327].
4. Адаптивное гибридное оптимальное управление (Ad-HOC), где в открытом цикле градиентным алгоритмом находят почти оптимальное управление, а затем оценивают его точность и изменяют его с помощью неградиентного алгоритма в рамках замкнутого цикла [127].
Первые две схемы управления используют самое простое когерентное управление квантовыми системам, то есть лазерные импульсы и электромагнитные поля, третья схема использует один из видов некогерентного управления — управление с помощью квантовых систем [41,51,52,54,216,281], кроме которого можно использовать, например, управление с помощью невыборочных измерений [132,188,196,228,232,318,321].
Наиболее популярным и простым способом является управление в открытом цикле, при котором для решения задачи построения оптимального управления требуется решить следующие задачи.
1. Определить имеется ли у квантовой системы полная управляемость, то есть можно ли реализовать произвольное состояние с помощью имеющихся в распоряжении управляющих ресурсов, для чего можно использовать критерий алгебр Ли [16,108] или критерий графов [82,241].
2. Выбрать метод для интегрирования динамики квантовой системы: методы Рунге-Кутты [22,130,162,207], методы Магнуса [57,87,161,170], методы разложения [14,18, 32,33,36-39,47-50, 55-57,62,63, 90,91,133,140,179,183, 235, 239,269] или метод канонических координат второго рода [95].
3. Выбрать метод для приближенного построения матричных экспонент: методы Тейлора и Чебышева [64,325], метод Паде [77], метод подпространства Крылова [64], метод координат второго рода [95], метод матриц малого ранга [94] или метод разделения вещественной и мнимой частей функции Гамильтона H[55,64].
4. Выбрать метод оптимизации, который построит оптимальное управление: аналитический [15,46,68,71,72,108,112,273] или численный градиентный [52, 53,83,86,92,115,145,158,163,173,179,181,192-194,199,200,204,209,219,221, 257,266,272,314,320,326] или численный неградиентный [35,121,218,238,249, 258,330] или может быть метод машинного обучения [97,98,119,120,138,214] или гибридный метод [142]. В этом поможет следующий шаг.
5. Проверить условия принципа ландшафта [43,122,123,166,226,227,230,246, 256,257,262,323,334], выполнение которых свидетельствует о возможности применения простых градиентных локальных оптимизационных методов в данной задаче.
Конечно же, в большинстве случаев используются численные методы (которые основаны на дискретизации управлений, например, с помощью кусочно-постоянных управлений или методов Фурье), так как аналитические методы применимы только для систем малой размерности, а среди численных методов градиентные методы показывают высокую эффективность и точность в достижении целей управления. Среди всех успешных градиентных методов особого внимания заслуживает метод D-MORPH [158, 204, 257] за счет того, что он не требует высоких затрат на вычисления, способен преодолевать незначительные локальные оптимумы и давать высокоточные оптимальные управления.
Все популярные оптимизационные методы реализованы в различных программных продуктах: пакет DYNAMO [192] в среде Matlab для построения оптимального управления градиентными методами, библиотека QuTiP[167] для языка Python, пакет OCTOPUS [29], который включает как градиентные, так и неградиентные методы, пакет SPINACH [160] для Matlab для задач оптимального управления в области ядерного магнитного резонанса и универсальный программный пакет РЕЕТ [157] в Matlab, включающий методы квантового управления открытыми системами в условиях шума. Поэтому проведение моделирования задач оптимального квантового управления становится доступно все большему количеству ученых.
Важно понимать, однако, что почти все численные оптимизационные алгоритмы, использующие кусочно-постоянные управления, были выведены в рамках предположения о малости шага At дискретизации управлений по времени для того, чтобы дискретизированные управления (например, заданные в виде кусочно-постоянных функций) наиболее точно соответствовали своим аналитическим версиям и могли изменяться свободно в любой момент времени. В результате такой дискретизации получается, что одно управление описывается уже не одной заданной функциональной формой, а очень большим количеством параметров, которые затем необходимо оптимизировать. Это, в свою очередь, приводит к необходимости работы с системами уравнений очень больших раз-мерностей в рамках процесса оптимизации, что еще более усложняется тем, что задачи управления квантовыми вычислениями сами по себе приводят к системам уравнений большой размерности, заданным на матричных группах Ли, которые довольно трудно решать. К тому же дополнительные сложности возникают из-за необходимости многократного вычисления матричных экспонент от матриц большой размерности при проведении процесса оптимизации в рамках квантовых вычислений, что весьма затратно с точки зрения требуемых для этого вычислительных ресурсов и времени.
Исходя из всего этого, возникает естественное желание либо использовать управления фиксированной функциональной формы с малым количеством параметров, либо же использовать большие шаги для дискретизации управлений в виде кусочно-постоянных функций. Первый путь хоть и выглядит на первый взгляд многообещающим в виду малого количества оптимизируемых параметров, но приводит к большим сложностям при вычислении матриц эволюции квантовой системы (например, придется использовать приближенные формулы Магнуса [57]) и может быть труден для реализации на практике, так как может быть сложно поддерживать заданную функциональную форму управлений. Второй путь выглядит более предпочтительным, так как предполагает использование глубоко развитой теории оптимизации кусочно-постоянных управлений при малом количестве параметров, подлежащих оптимизации, что приведет к сокращению времени, требуемого на ее проведение, и позволит на практике переключать управления не так часто, сохраняя таким образом до-статочно простую форму управлений.
Однако, при всех положительных моментах от использования больших шагов At дискретизации управлений в задачах оптимального управления, стоит понимать, что непосредственное использование таких значений шага At в существующих методах, в частности в методе D-MORPH, будет приводить к большим погрешностям (из-за упомянутого предположения о малости At, использованного при выводе этих методов), которые будут накапливаться из-за итеративного характера численной оптимизации, и, следовательно, будут мешать достижению желаемого результата в поставленной задаче оптимизации. В лучшем случае такие методы будут требовать большего, чем при использовании малых шагов, времени на проведение оптимизации, что, конечно же, крайне нежелательно в любом случае.
Эти факты наводят на соображения о способе возможного улучшения подобных алгоритмов при использовании больших шагов At дискретизации управлений — повторить весь процесс формулировки и вывода оптимизационных алгоритмов, не используя предположение о малости шага At дискретизации управлений, и, таким образом, получить новые методы, которые будут иметь вид известных численных оптимизационных алгоритмов с дополнительно включенными поправочными членами, учитывающими влияние больших шагов At на точность оптимизации, что теоретически и практически должно привести к сокращению времени на выполнение процесса оптимизации данными методами.
Таким образом, исходя из практической невозможности решения задачи оптимального квантового управления точными аналитическими методами в рамках квантовых вычислений и важности быстрого выполнения численной оптимизации, особенно при различных (не обязательно малых) по величине шагах At дискретизации управлений, целью данной работы было выбрано ускорение крайне популярного алгоритма градиентной численной оптимизации D-MORPH в рамках задачи наиболее точного построения квантовых гейтов за счет использования теоретически более точных формул, учитывающих влияние больших шагов At дискретизации управления.
Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи.
1. Построить аналитический обзор научной литературы в области оптимального управления квантовыми системами с особым акцентом на приложения в области квантовых вычислений.
2. Определить основные направления развития области управления квантовыми системами и используемые на данный момент подходы для решения задач реализации точных квантовых вычислений.
3. На основе имеющихся наработок и широко известных методов Софуса Ли решения задач оптимального управления ввести некоторые поправки в метод D-MORPH, учитывающие структуру гамильтониана системы и величину шага дискретизации управления и, таким образом, улучшающие точность и скорость процесса оптимизации.
4. Провести численные эксперименты из области квантовых вычислений на задачах наиболее точной реализации популярных квантовых гейтов, чтобы подтвердить ожидаемое сокращение времени на численную оптимизацию, особенно при больших шагах At дискретизации управлений, с использованием поправок различных порядков по сравнению с обычным методом D-MORPH без поправок.
Данная работа разделена на три главы и одно приложение. В первой главе приведены основные сведения из области квантовых вычислений и обзор используемых методов для оптимального управления квантовыми системами. Во второй главе приводится математическая формулировка задачи оптимального управления и метода D-MORPH для решения этой задачи и вводятся два новых способа получения поправок к методу D-MORPH для сокращения времени на оптимизацию. В третьей главе приводится описание и результаты вычислительных экспериментов по наиболее точной реализации четырех квантовых гейтов в модельной квантовой системе с помощью полученных в главе 2 поправок к методу D-MORPH первого и второго порядков, и производится выбор лучшего метода (с точки зрения затрат времени) в зависимости от величины шага At. В приложении приводятся основные сведения из квантовой механики, которые используются в теории квантовых вычислений.


Возникли сложности?

Нужна помощь преподавателя?

Помощь в написании студенческих
и аспирантских работ!


В данной работе был представлен способ улучшения алгоритма построения квантового оптимального управления D-MORPH за счет включения в него поправок разных порядков малости по At с целью сокращения времени на численную оптимизацию в задачах реализации квантовых гейтов в квантовом компьютере. На примере квантовой системы, являющейся реализацией двух логических кубитов и состоящей из двух частиц со спином 1/2 в постоянном магнитном поле и управляемой переменным магнитным полем было показано, что при максимально точной реализации нескольких важных квантовых логических гейтов за время, достаточно превосходящее минимально возможное время, и при использовании больших шагов At для дискретизации управлений наблюдается значительное улучшение поведения метода D-MOPRH при включении поправок первого и второго порядков по At по сравнению с обычным методом D-MORPH с точки зрения времени, требуемого на численное решение задачи оптимального управления.
Для достижения этой цели были решены следующие задачи.
1. Построен аналитический обзор научной литературы в области оптимального управления квантовыми системами с особым акцентом на область квантовых вычислений.
2. Определены основные направления развития области управления квантовыми системами и используемые в данный момент подходы для решения задач организации квантовых вычислений с выделением их сильных и слабых сторон.
3. На основе имеющихся наработок и широко известных методов Софуса Ли решения задач оптимального управления выведены улучшающие точность процесса оптимизации поправки различных порядков малости к популяр-ному оптимизационному методу D-MORPH.
4. Проведены численные эксперименты на задачах наиболее точной реализации квантовых гейтов CNOT, SWAP, A/SWAP И Н2В модельной квантовой системе с целью определения условий, при которых наблюдается сокращение времени, затраченного на численную оптимизацию, при использовании метода D-MORPH с поправками различных порядков по сравнению с методом D-MORPH без поправок.
Таким образом, поставленная цель ускорения популярного численного оптимизационного алгоритма D-MORPH была полностью достигнута. Данный результат может быть полезен на практике при наличии ограничений на количество переключений управления и на форму управлений, где предпочтительнее использовать большие шаги дискретизации управлений при трактовке управлений как кусочно-постоянных функций. Использование больших шагов At вместе с методами, представленными в данной работе, позволит сократить время на проведение моделирования квантовых вычислений и позволит более быстро получать новые результаты, связанные с реализацией квантовых гейтов в реальных квантовых компьютерах.
Логичным развитием данной работы может являться применение методов Софуса Ли, подобных методам используемым в данной работе, для вывода поправок к другим популярным численным оптимизационным алгоритмам в теории квантового управления для сокращения времени на поиск оптимального управления, особенно при использовании больших шагов дискретизации управлений во времени. Кроме этого возможно расширение данных методов для открытых квантовых систем, где присутствует окружение, негативно влияющее на достижение цели оптимизации.



[1] Аграчев А. А., Сачков Ю. Л. Геометрическая теория управления. М.: Физматлит. 2005. 392 с.
[2] Давыдов А. С. Квантовая механика. Изд. 2. Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука". 1973. 704 с.
[3] Жданов К. Е. Оптимальное управление эволюцией частицы со спином 1/2 в магнитном поле // Процессы управления и устойчивость. 2014. Т. 1. № 1. С. 146-151.
[4] Жданов К. Е. Улучшение метода D-MORPH для поиска оптимального квантового управления // Международный научно-исследовательский журнал. 2016. № 6-5(48). С. 94-99. DOI: 10.18454/IRJ.2016.48.057
[5] Жданов К. Е. Новый подход к ускорению метода D-MORPH для поиска оптимального квантового управления // Международный научно-исследовательский журнал. 2017. № 10-3(64). С. 104-106.
[6] Жданов К. Е. Поправки второго порядка к методу D-MORPH в задаче реализации гейта CNOT // Международный научно-исследовательский журнал. 2018. № 5(71). С. 8-11.
[7] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. 7-е изд. М.: Физматлит. 2004. 572 с.
[8] Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация / пер. с англ. М. Басовой и др. М.: Мир. 2006. 824 с.
[9] Риффелъ Э., Полак В. Основы квантовых вычислений // Квантовые компьютеры и квантовые вычисления. Москва. 2000. Т. 1, У5 1. С. 4-57.
[10] Стин Э. Квантовые вычисления. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2000. 112 с.
[11] Фейнман Р. Фейнмановские лекции по физике. 5-е изд. Эдиториал УРСС.
2010. Т. 8,9. 526 с.
[12] Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В Зт.. Изд. 8-е. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2003. Т. L 680 с.
[13] Aaronson S. The limits of quantum computers // Scientific American. 2008. Vol. 298(3). P. 62-69.
[14] Afeyan B., Casas F., Crouseilles N., et. al. Simulations of Kinetic Electrostatic Electron Nonlinear (KEEN) Waves with Variable Velocity Resolution Grids and High-Order Time-Splitting // The European Physical Journal D. 2014. Vol. 68.
[15] Aiello C. D., Allegra M., Hemmerling B., Wan X., Cappellaro Р.Algebraic synthesis of time-optimal unitaries in SU(2) with alternating controls // Quantum Information Processing. 2015. Vol. 14(9). P. 3233-3256.
[16] Albertini F., D ’Alessandro D. Notions of Controllability for Quantum Mechanical Systems // 2001. Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control. 2001.
[17] Aliferis Р., Gottesman D., Preskill J. Accuracy threshold for postselected quantum computation // Quantum Information & Computation. 2008. Vol. 8(3). P. 181-244.
[18] Allen M. Р.Introduction to Molecular Dynamics Simulation // Computational Soft Matter: From Synthetic Polymers to Proteins, Lecture Notes / Attig N., Binder K., Grubmuller H., Kremer K. (Eds.). Julich, 2004. P. 1-28.
[19] Albertini F., Ticozzi F. Discrete-Time Controllability for Feedback Quantum Dynamics // Automatica. 2011. Vol. 47(11). P. 2451-2456.
[20] Albertini F., D’Alessandro D. Minimum Time Optimal Synthesis for a Control System on SU(2) // Journal of Mathematical Physics. 2015. Vol. 56(1).
[21] Albertini F., D’Alessandro D. Time Optimal Simultaneous Control of Two Level Quantum Systems // Automatica. 2016. Vol. 74. P. 55-62.
[22] Alonso-Mallo I., Duran A., Reguera N. Long Time Numerical Approximation of Coherent-Structure Solutions of the Cubic Schrodinger Equation // Mathematical Methods in Engineering / Tas K., Tenreiro Machado J. A., Baleanu D. (Eds.). Springer Netherlands, 2014.
[23] Altafini C., Ticozzi F. Almost Global Stochastic Feedback Stabilization of Conditional Quantum Dynamics. 2005. arXiv:quant-ph/0510222
[24] Altafini C. Feedback Control of Spin Systems // Quantum Information Processing. 2007. Vol. 6(1). P. 9-36.
[25] Altafini C., Ticozzi F. Modeling and Control of Quantum Systems: An Introduction // IEEE Transactions on Automatic Control. 2012. Vol. 57(8). P. 1898-1917.
[26] Ambainis A., Regev 0. An Elementary Proof of the Quantum Adiabatic Theorem. 2004. arXiv:quant-ph/0411152
[27] Amparan G., Rojas F., Perez-Garrido A. One-qubit quantum gates in a circular graphene quantum dot: genetic algorithm approach // Nanoscale Research Letters. 2013. Vol. 8(1).
[28] Andersen U. L., Leuchs G., Silberhorn C. Continuous-variable quantum information processing // Laser & Photonics Reviews. 2010. Vol. 4(3). P. 337¬354.
[29] Andrade X., Strubbe D. A., De Giovannini U., et. al. Real-space grids and the Octopus code as tools for the development of new simulation approaches for electronic systems // Physical Chemistry Chemical Physics. 2015. Vol. 17(45). P. 31371-31396.
[30] Arkhincheev V. E. Control of quantum particle dynamics by impulses of magnetic field // Nonlinear Dynamics. 2017. Vol. 87(3). P. 1873-1877.
[31] Assemat E., Chambrion T., Sugny D. On the control by electromagnetic fields of quantum systems with infinite dimensional Hilbert space // Journal of Mathematical Chemistry. 2015. Vol. 53(1). P. 374-385.
[32] Auzinger W., Kassebacher T., Koch 0., Thalhammer M. Adaptive splitting methods for nonlinear Schrodinger equations in the semiclassical regime // Numerical Algorithms. 2016. Vol. 72(1). P. 1-35.
[33] Auzinger W., Koch 0., Quell M. Adaptive high-order splitting methods for systems of nonlinear evolution equations with periodic boundary conditions // Numerical Algorithms. 2017. Vol. 75(1). P. 261-283.
[34] Auzinger W., Hofstatter H., Ketcheson D., Koch 0. Practical splitting methods for the adaptive integration of nonlinear evolution equations. Part I: Construction of optimized schemes and pairs of schemes // BIT Numerical Mathematics. 2017. Vol. 57(1). P. 55-74.
[35] Bucksbaum P. H. Chapter 5. Ultrafast Quantum Control in Atoms and Molecules // Ultrafast Nonlinear Optics / Thomson R., Leburn C., Reid D. (Eds.). Springer International Publishing, 2013.
[36] Bader P., Blanes S. Fourier methods for the perturbed harmonic oscillator in linear and nonlinear Schrodinger equations // Physical Review. E, Statistical, nonlinear, and soft matter physics. 2011. Vol. 83(4-2).
[37] Bader P., Blanes S., Casas F. Solving the Schrodinger eigenvalue problem by the imaginary time propagation technique using splitting methods with complex coefficients // The Journal of Chemical Physics. 2013. Vol. 139(12).
[38] Bader P., Blanes S., Ponsoda E. Structure preserving integrators for solving linear quadratic optimal control problems with applications to describe the flight of a quadrotor // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2014. Vol. 262. P. 223-233.
[39] Bader P., Blanes S., Seydaoglu M. The scaling, splitting and squaring method for the exponential of perturbed matrices // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 2015. Vol. 36(2). P. 594-614.
[40] Baggio G., Ticozzi F., Viola L. Quantum State Preparation by Controlled Dissipation in Finite Time: From Classical to Quantum Controllers // 2012 IEEE 51st Annual Conference on Decision and Control (CDC). 2012.
[41] Ball H., Biercuk M. J. Walsh-synthesized noise-filtering quantum logic / / EP J Quantum Technology. 2015. Vol. 2.
[42] Banik M., Deb P., Bhattacharya S. Wigner-Yanase skew information and entanglement generation in quantum measurement // Quantum Information Processing. 2017. Vol. 16.
[43] Beltrani V., Dominy J., Ho T., Rabitz H. Exploring the top and bottom of the quantum control landscape // The Journal of Chemical Physics. 2011. Vol. 134(19).
[44] Benoist T., Pellegrini C., Ticozzi F. Exponential Stability of Subspaces for Quantum Stochastic Master Equations // Annales Henri Poincare. 2017. Vol. 18(6). P. 2045-2074.
[45] Beterov I. I., Saffman M., Zhukov V. F., Tretyakov D. B.. Entin V. M., Yakshina E. A., Ryabtsev I. I., Mansell C. W., MacCormick C., Bergamini S., Fedoruk M. P. Coherent control of mesoscopic atomic ensembles for quantum information // Laser Physics. 2014. Vol. 24(7).
[46] Billig Y. Time-optimal decompositions in SU(2) // Quantum Information Processing. 2013. Vol. 12(2). P. 955-971.
[47] Bader P., Blanes S., Ponsoda E., Seydaoglu M. Symplectic integrators for the matrix Hill equation // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2017. Vol. 316(C). P. 47-59.
[48] Bader P., Iserles A., Kropielnicka K., Singh P. Efficient methods for linear Schrodinger equation in the semiclassical regime with time-dependent potential //Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 2016. Vol. 472(2193).
[49] Bader P. Fourier-Splitting methods for the dynamics of rotating Bose-Einstein condensates // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2018. Vol. 336. P. 267-280.
[50] Bader P., Blanes S., Casas F., Kopylov N., Ponsoda E. Symplectic integrators for second-order linear non-autonomous equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2018. Vol. 330. P. 909-919.
[51] Bergholm V., Schulte-Herbruggen T. How to Transfer between Arbitrary n- Qubit Quantum States by Coherent Control and Simplest Switchable Noise on a Single Qubit. 2012. arXiv: 1206.4945
[52] Bergholm V., Wilhelm F. K., Schulte-Herbruggen 7. Arbitrary n-Qubit State Transfer Using Coherent Control and Simplest Switchable Local Noise // APS March Meeting 2017. 2017.
[53] Bhole G., Jones J. A. Practical Pulse Engineering: Gradient Ascent Without Matrix Exponentiation. 2018. Preprint: arXiv:1802.07147
[54] Biggerstaff D. N., Heilmann R., Zeceuik A. A., Grafe M., Broome M. A., Fedrizzi A., Nolte S., Szameit A., White A. G., Kassal I. Enhancing quantum transport in a photonic network using controllable decoherence // Nature Communications. 2016. Vol. 7.
[55] Blanes S., Casas F., Murua A. Symplectic splitting operator methods for the time-dependent Schrodinger equation // The Journal of Chemical Physics. 2006. Vol. 124(23).
[56] Blanes S., Casas F, Murua A. Splitting and composition methods in the numerical integration of differential equations // Boletin de la Sociedad Espanola de Matematica Aplicada. 2008. Vol. 45. P. 89-145.
[57] Blanes S., Casas F., Oteo J. A., Ros J. The Magnus expansion and some of its applications // Physics Reports. 2009. Vol. 470(5-6). P. 151-238.
[58] Blanes S., Casas F, Murua A. Splitting methods with complex coefficients // SeMA Journal. 2010. Vol. 50(1). P. 47-60.
[59] Blanes S., Casas F., Murua A. Error analysis of splitting methods for the time dependent Schrodinger equation // SIAM Journal on Scientific Computing.
2011. Vol. 33(4). P. 1525-1548.
[60] Blanes S., Casas F., Murua A. Splitting methods in the numerical integration of non-autonomous dynamical systems // Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Fisicas у Naturales. Serie A. Matematicas. 2012. Vol. 106(1). P. 49-66.
[61] Blanes S., Casas F., Chartier P., Murua A. Optimized high-order splitting methods for some classes of parabolic equations // Mathematics of Computation, American Mathematical Society. 2013. Vol. 82(283). P. 1559— 1576.
[62] Blanes S., Casas F., Farres A., et.al. New families of symplectic splitting methods for numerical integration in dynamical astronomy // Applied Numerical Mathematics. 2013. Vol. 68. P. 58-72.
[63] Blanes S. High order structure preserving explicit methods for solving linear- quadratic optimal control problems // Numerical Algorithms. 2015. Vol. 69(2). P. 271-290.
[64] Blanes S., Casas F., Murua A. An efficient algorithm based on splitting for the time integration of the Schrodinger equation // Journal of Computational Physics. 2015. Vol. 303. P. 396-412.
[65] Bloch A. M., Colombo L. J., Gupta R., Ohsawa T. Optimal Control Problems with Symmetry Breaking Cost Functions // SIAM Journal on Applied Algebra and Geometry. 2017. Vol. 1(1). P. 626-646.
[66] Boixo S., Ronnow T. F., Isakou S. V., et. al. Evidence for quantum annealing with more than one hundred qubits // Nature Physics. 2014. Vol. 10. P. 218— 224.
[67] Bolognani S., Ticozzi F. Engineering Stable Discrete-Time Quantum Dynamics via a Canonical QR Decomposition // IEEE Transactions on Automatic Control. 2010. Vol. 55(12). P. 2721-2734.
[68] Bonnard B., Sugny D. Time-minimal control of dissipative two-level quantum systems: The integrable case // SIAM Journal on Control and Optimization. 2009. Vol. 48(3). P. 1289-1308.
[69] Bonnard B., Chyba M.. Sugny D. Time-Minimal Control of Dissipative Two- level Quantum Systems: the Generic Case // IEEE Transactions on Automatic Control. 2009. Vol. 54(11). P. 2598-2610.
[70] Bonnard B., Cots 0., Glaser S. J., Lapert M., Sugny D., Zhang Y. Geometric optimal control of the contrast imaging problem in Nuclear Magnetic Resonance // IEEE Transactions on Automatic Control. 2012. Vol. 57(8). P. 1957-1969.
[71] Bonnard B., Cots 0., Shcherbakova N. Energy Minimization Problem in Two- level Dissipative Quantum Control: Meridian Case // Journal of Mathematical Sciences. 2013. Vol. 195(3). P. 311-335.
[72] Bonnard B., Chyba M.. Rouot J. Working Examples In Geometric Optimal Control: PRELIMINARY VERSION. 2016. hal-01226734v2
[73] Bonnard B., Faugere J., Jacquemard A., Safey El Din M.. Verron T. Determinantal sets, singularities and application to optimal control in medical imagery // ISSAC’16 Proceedings of the ACM on International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation. 2016. P. 103-110.
[74] Bottcher A., Wenzel D. The Frobenius norm and the commutator // Linear Algebra and its Applications. 2008. Vol. 429(8-9). P. 1864-1885.
[75] Boussaid N., Caponigro M.. Chambrion T. Weakly-coupled Systems in Quantum Control // IEEE Transactions on Automatic Control. 2013. Vol. 58(9). P. 2205-2216.
[76] Boykin T. B., Klimeck G. The discretized Schrodinger equation and simple models for semiconductor quantum wells // European Journal of Physics. 2004. Vol. 25. P. 503-514.
[77] Brezinski C. Extrapolation algorithms and Pade approximations: a historical survey // Applied Numerical Mathematics. 1996. Vol. 20(3). P. 299-318.
[78] Brif C., Grace M. D., Sarovar M.. Young К. C. Exploring adiabatic quantum trajectories via optimal control // New Journal of Physics. 2014. Vol. 16.
[79] Brody D. C., Holm D. D., Meier D. M. Quantum splines // Physical Review Letters. 2012. Vol. 109(10).
[80] Brown K. L., Munro W. J., Kendon V. M. Using Quantum Computers for Quantum Simulation // Entropy. 2010. Vol. 12(11). P. 2268-2307.
[81] Budd C. J., Piggott M. D. Geometric Integration and its Applications // Handbook of numerical analysis. 2003. Vol. 11. P. 35-139.
[82] Burgarth D., D’Alessandro D., Hogben L., Severini S., Young M.Zero forcing, linear and quantum controllability for systems evolving on networks // IEEE Transactions on Automatic Control. 2013. Vol. 58(9). P. 2349-2354.
[83] Burger M., Pinnau R., Fouego M., Rau S. Optimal Control of Self-Consistent Classical and Quantum Particle Systems // Trends in PDE Constrained Optimization. 2014. P. 455-470.
[84] Buzek V., Hillery M. Universal Optimal Cloning of Qubits and Quantum Registers // Quantum Computing and Quantum Communications. 1999. P. 235-246.
[85] Byrd M. S., Lidar D. A. Bang-Bang Operations from a Geometric Perspective // Quantum Information Processing. 2002. Vol. 1(1-2). P 19-34.
[86] Caneua T., Calarco T., Montangero S. Chopped random basis quantum optimization // Physical Review A. 2011. Vol. 84(2).
[87] Carlson T. Magnus’ Expansion as an Approximation Tool for ODES / Thesis (M.S.). University of Alaska Fairbanks. 2005.
[88] Casas F. Sufficient conditions for the convergence of the Magnus expansion // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2007. Vol. 40(50).
[89] Casas F., Murua A. An efficient algorithm for computing the Baker-Campbell-Hausdorff series and some of its applications // Journal of Mathematical Physics. 2009. Vol. 50(3).
[90] Casas F., Crouseilles N., Faou E., Mehrenberger M. High-order Hamiltonian Splitting for Vlasov—Poisson Equations // Numerische Mathematik. 2017. Vol. 135(3). P. 769-801.
[91] Casas F., D’Olivo J. C., Oteo J. A. Efficient numerical integration of neutrino oscillations in matter // Physical Review D. 2016. Vol. 94(11).
[92] Castro A., Gross E. K. U. Chapter 13. Quantum Optimal Control / M. A. L. Marques et al. (eds.), Fundamentals of Time-Dependent Density Functional Theory, Lecture Notes in Physics 837. 2012
[93] Castro A., Werschnik J., Gross E. K. U. Controlling the Dynamics of Many¬Electron Systems from First Principles: A Combination of Optimal Control and Time-Dependent Density-Functional Theory // Physical Review Letters.
2012. Vol. 109(15).
[94] Celledoni E. Approximating the Exponential From a Lie Algebra to a Lie Group // Mathematics of Computation. 2000. Vol. 69(232). P. 1457-1480.
[95] Celledoni E., Iserles A. Methods for the approximation of the matrix exponential in a Lie-algebraic setting // IMA Journal of Numerical Analysis. 2001. Vol. 21(2). P. 463-488.
[96] Chasseur T., Theis L. S., Sanders Y. R., Egger D. J., Wilhelm F. K. Engineering adiabaticity at an avoided crossing with optimal control // Physical Review A. 2015. Vol. 91(4).
[97] Chen C., Dong D., Long R., Petersen I. R., Rabitz H. A. Sampling-based learning control of inhomogeneous quantum ensembles // Physical Review A. 2014. Vol. 89(2).
[98] Chen C., Dong D., Qi B., Petersen I. R., Rabitz H. Quantum Ensemble Classification: A Sampling-based Learning Control Approach // IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems. 2017. Vol. 28(6). P. 1345-1359.
[99] Chen X.. Torrontegui E., Stefanatos D., Li J., Muga J. G. Optimal trajectories for efficient atomic transport without final excitation // Physical Review A.
2011. Vol. 84(4).
[100] Chen Z. Towards qubit noise spectroscopy by quantum bang-bang control. Thesis (S.B.). Massachusetts Institute of Technology, Dept, of Physics. 2004
[101] Childress L., Hanson R. Diamond NV centers for quantum computing and quantum networks // MRS Bulletin. 2013. Vol. 38. P. 134-138.


Работу высылаем на протяжении 30 минут после оплаты.

Пожалуйста, укажите откуда вы узнали о сайте!



© 2008-2022 Cервис помощи студентам в выполнении работ