Как известно [3], линейная однородная система x = Ax с постоянной матрицей A асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы A имеют отрицательные вещественные части.
Поэтому задача установления необходимых и достаточных условий, при которых все корни данного полинома расположены в левой полуплоскости, имеет фундаментальное значение в ряде прикладных областей, в которых исследуется устойчивость механических и электрических систем.
К концу XIX века Э. Дж. Раус и А. Гурвиц, независимо от друг друга дали решение этой задачи. Полученные Гурвицем детерминантные неравенства известны в настоящее время под названием условий Рауса- Гурвица [2].
В случае матрицы, зависящей от параметров, проверка этих условий трудоемка, особенно для матриц больших размерностей. Тем самым, актуальным является поиск других подходов к этой задаче.
В данной работе предложен иной подход, основанный на нахождении r(A) - радиуса устойчивости матрицы, преимуществом которого является более быстрая работа с матрицами больших порядков. Также дополнительно выведены некоторые следствия из статьи [16] и расширен класс параметрических матриц, для которых проверка устойчивости тривиальна.
Далее под устойчивостью матрицы подразумевается отрицательность вещественных частей всех её собственных чисел. Аналогично для полиномов: полином устойчив, если все его корни лежат в левой полуплоскости.
Область устойчивости параметрической матрицы - множество значений параметров, при которых матрица устойчива.
При написании данной работы применялись научные источники, учебная литература, а также статьи из научных изданий.
Всю используемую литературу можно разделить на несколько частей. Первая часть включает литературу по алгебре и теории матриц. Сюда можно отнести книги [1], [2], [4], [5], [7], [8], [9].
Основные понятия о теории устойчивости взяты из книг [1], [2], [3].
При изучении понятия радиуса устойчивости использовались статьи [10], [11], [15], [17], в которых уже были приведены некоторые алгоритмы вычисления r(A), а также были доказаны некоторые важные теоремы. Для получения нового способа нахождения r(A) применялся алгоритм нахождения значений параметра, при котором данная матрица имеет кратное собственное число [13].
Использовались результаты, касающиеся линейных симметричных параметрических матриц: [12], [16].
Необходимые исторические сведения были взяты из книг [2] и [5].
