📄Работа №127987
Тема: ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МАТРИЦ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРОВ
Тип работы
Бакалаврская работа
Предмет
Информатика и вычислительная техника
Объем:
32 листов
Год:
2018
Просмотров:
101
4700
руб.
🛒 Купить работу
Не подходит эта работа?
Закажите новую по вашим требованиям
Узнать цену на написание
Закажите новую по вашим требованиям
Представленный материал является образцом учебного исследования, примером структуры и содержания учебного исследования по заявленной теме. Размещён исключительно в информационных и ознакомительных целях.
Workspay.ru оказывает информационные услуги по сбору, обработке и структурированию материалов в соответствии с требованиями заказчика.
Размещение материала не означает публикацию произведения впервые и не предполагает передачу исключительных авторских прав третьим лицам.
Материал не предназначен для дословной сдачи в образовательные организации и требует самостоятельной переработки с соблюдением законодательства Российской Федерации об авторском праве и принципов академической добросовестности.
Авторские права на исходные материалы принадлежат их законным правообладателям. В случае возникновения вопросов, связанных с размещённым материалом, просим направить обращение через форму обратной связи.
Настоящий учебно-методический информационный материал размещён в ознакомительных и исследовательских целях и представляет собой пример учебного исследования. Не является готовым научным трудом и требует самостоятельной переработки.
📋 Содержание
Введение 4
Постановка задачи 5
Обзор литературы 6
Глава 1. Устойчивость матрицы с постоянными коэффициентами 7
1.1. Проверка устойчивости матрицы через вычисление характеристического полинома 7
1.1.1 Нахождение характеристического полинома по методу Леверье 8
1.1.2 Нахождение характеристического полинома по методу Данилевского 8
1.2. Проверка устойчивости матрицы через нахождение всех
собственных чисел 10
1.2.1 QR-алгоритм 10
1.3. Случай симметрической матрицы 12
1.3.1 Проверка устойчивости симметрической матрицы . . 12
1.3.2 Устойчивость блочных симметрических матриц ... 12
Глава 2. Нахождение радиуса устойчивости матрицы 13
2.1. Обоснование алгоритма 13
2.2. Алгоритм 17
Глава 3. Исследование устойчивости матриц, зависящих от параметров 18
3.1. Исследование устойчивости симметрических матриц вида
Л, + Aiti + ... + Asts 18
3.2. Исследование устойчивости симметрических матриц вида
At + Bt 21
3.3. Исследование устойчивости матриц с помощью нахождения
радиуса устойчивости 22
3.4. Устойчивость блочных симметричных матриц 27
Приложение. Программная реализация в Wolfram Mathematica 29
1. Вычисление радиуса устойчивости матрицы 29
2. Алгоритм проверки устойчивости параметрической матрицы
с помощью нахождения r(A) 30
Список литературы 31
Постановка задачи 5
Обзор литературы 6
Глава 1. Устойчивость матрицы с постоянными коэффициентами 7
1.1. Проверка устойчивости матрицы через вычисление характеристического полинома 7
1.1.1 Нахождение характеристического полинома по методу Леверье 8
1.1.2 Нахождение характеристического полинома по методу Данилевского 8
1.2. Проверка устойчивости матрицы через нахождение всех
собственных чисел 10
1.2.1 QR-алгоритм 10
1.3. Случай симметрической матрицы 12
1.3.1 Проверка устойчивости симметрической матрицы . . 12
1.3.2 Устойчивость блочных симметрических матриц ... 12
Глава 2. Нахождение радиуса устойчивости матрицы 13
2.1. Обоснование алгоритма 13
2.2. Алгоритм 17
Глава 3. Исследование устойчивости матриц, зависящих от параметров 18
3.1. Исследование устойчивости симметрических матриц вида
Л, + Aiti + ... + Asts 18
3.2. Исследование устойчивости симметрических матриц вида
At + Bt 21
3.3. Исследование устойчивости матриц с помощью нахождения
радиуса устойчивости 22
3.4. Устойчивость блочных симметричных матриц 27
Приложение. Программная реализация в Wolfram Mathematica 29
1. Вычисление радиуса устойчивости матрицы 29
2. Алгоритм проверки устойчивости параметрической матрицы
с помощью нахождения r(A) 30
Список литературы 31
📖 Введение
Как известно [3], линейная однородная система x = Ax с постоянной матрицей A асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы A имеют отрицательные вещественные части.
Поэтому задача установления необходимых и достаточных условий, при которых все корни данного полинома расположены в левой полуплоскости, имеет фундаментальное значение в ряде прикладных областей, в которых исследуется устойчивость механических и электрических систем.
К концу XIX века Э. Дж. Раус и А. Гурвиц, независимо от друг друга дали решение этой задачи. Полученные Гурвицем детерминантные неравенства известны в настоящее время под названием условий Рауса- Гурвица [2].
В случае матрицы, зависящей от параметров, проверка этих условий трудоемка, особенно для матриц больших размерностей. Тем самым, актуальным является поиск других подходов к этой задаче.
В данной работе предложен иной подход, основанный на нахождении r(A) - радиуса устойчивости матрицы, преимуществом которого является более быстрая работа с матрицами больших порядков. Также дополнительно выведены некоторые следствия из статьи [16] и расширен класс параметрических матриц, для которых проверка устойчивости тривиальна.
Далее под устойчивостью матрицы подразумевается отрицательность вещественных частей всех её собственных чисел. Аналогично для полиномов: полином устойчив, если все его корни лежат в левой полуплоскости.
Область устойчивости параметрической матрицы - множество значений параметров, при которых матрица устойчива.
Поэтому задача установления необходимых и достаточных условий, при которых все корни данного полинома расположены в левой полуплоскости, имеет фундаментальное значение в ряде прикладных областей, в которых исследуется устойчивость механических и электрических систем.
К концу XIX века Э. Дж. Раус и А. Гурвиц, независимо от друг друга дали решение этой задачи. Полученные Гурвицем детерминантные неравенства известны в настоящее время под названием условий Рауса- Гурвица [2].
В случае матрицы, зависящей от параметров, проверка этих условий трудоемка, особенно для матриц больших размерностей. Тем самым, актуальным является поиск других подходов к этой задаче.
В данной работе предложен иной подход, основанный на нахождении r(A) - радиуса устойчивости матрицы, преимуществом которого является более быстрая работа с матрицами больших порядков. Также дополнительно выведены некоторые следствия из статьи [16] и расширен класс параметрических матриц, для которых проверка устойчивости тривиальна.
Далее под устойчивостью матрицы подразумевается отрицательность вещественных частей всех её собственных чисел. Аналогично для полиномов: полином устойчив, если все его корни лежат в левой полуплоскости.
Область устойчивости параметрической матрицы - множество значений параметров, при которых матрица устойчива.
✅ Заключение
При написании данной работы применялись научные источники, учебная литература, а также статьи из научных изданий.
Всю используемую литературу можно разделить на несколько частей. Первая часть включает литературу по алгебре и теории матриц. Сюда можно отнести книги [1], [2], [4], [5], [7], [8], [9].
Основные понятия о теории устойчивости взяты из книг [1], [2], [3].
При изучении понятия радиуса устойчивости использовались статьи [10], [11], [15], [17], в которых уже были приведены некоторые алгоритмы вычисления r(A), а также были доказаны некоторые важные теоремы. Для получения нового способа нахождения r(A) применялся алгоритм нахождения значений параметра, при котором данная матрица имеет кратное собственное число [13].
Использовались результаты, касающиеся линейных симметричных параметрических матриц: [12], [16].
Необходимые исторические сведения были взяты из книг [2] и [5].
Всю используемую литературу можно разделить на несколько частей. Первая часть включает литературу по алгебре и теории матриц. Сюда можно отнести книги [1], [2], [4], [5], [7], [8], [9].
Основные понятия о теории устойчивости взяты из книг [1], [2], [3].
При изучении понятия радиуса устойчивости использовались статьи [10], [11], [15], [17], в которых уже были приведены некоторые алгоритмы вычисления r(A), а также были доказаны некоторые важные теоремы. Для получения нового способа нахождения r(A) применялся алгоритм нахождения значений параметра, при котором данная матрица имеет кратное собственное число [13].
Использовались результаты, касающиеся линейных симметричных параметрических матриц: [12], [16].
Необходимые исторические сведения были взяты из книг [2] и [5].
ИЛИ
Поиск аналога
📕 Список литературы
🖼 Скриншоты
🛒 Оформить заказ
⚡ Работу высылаем в течении 5 минут после оплаты.