Введение 3
Постановка задачи 5
Обзор литературы 6
§1. Основные определения и подходы к анализу устойчивости 7
§2. Критерии знакоопределенности функций полиномиального вида с нестационарными коэффициентами 10
§3. Анализ устойчивости нелинейной нестационарной системы треугольного вида 14
§4. Задача стабилизации вращательного движения твердого тела 23
Заключение 25
Список литературы 26
Поведение многих реальных объектов, например, механических систем, может быть описано системами дифференциальных уравнений. Одной из актуальных проблем при этом является анализ устойчивости. Основные методы теории устойчивости были разработаны А. М. Ляпуновым в конце XIX века и позволяли судить об устойчивости решения некоторой системы дифференциальных уравнений, не зная общего ее решения. В дальнейшем теория Ляпунова получила развитие в трудах многих ученых (см., например, [4], [5], [8], [10]).
Один из главных путей анализа устойчивости нелинейных систем состоит в построении вспомогательной (упрощенной) системы, для которой доказывается свойство устойчивости или неустойчивости, а затем устанавливаются условия сохранения соответствующего свойства при возврате к первоначальной системе. Так, например, правые части гладких систем обычно раскладывают в степенные ряды в окрестности заданного стационарного режима и оставляют далее для исследования только слагаемые с наименьшими степенями. А. М. Ляпунов получил условия устойчивости по линейному приближению, а также выделил ряд сомнительных случаев, когда линейное приближение не решает поставленной задачи. В таких критических случаях существенно нелинейных систем приходится иметь дело со степенями более высокого порядка. Для анализа подобных существенно нелинейных систем обычно используют метод функций Ляпунова.
Функции Ляпунова для нелинейных систем часто пытаются найти в классе функций полиномиального (степенного) вида в силу простоты данного класса. Для использования таких функций в теоремах типа Ляпунова требуется исследовать их на знакоопределенность. И если критерии знакоопределенности квадратичных форм известны (например, критерий Сильвестра), то для функций со степенями большего порядка общих критериев нет. Ситуация усложняется, если исследуемая система и используемая для нее функция Ляпунова являются нестационарными.
Одним из важных направлений развития второго метода Ляпунова явилось его объединение с теорией дифференциальных неравенств [12]. Дифференциальные неравенства, построенные для выбранных функций Ляпунова позволяют, например, получить оценки на решения исследуемой системы и на их основе провести анализ устойчивости заданного стационарного режима. Применение теории дифференциальных неравенств приводит также к ослаблению требований, предъявляемых к функциям Ляпунова. В результате появляется возможность использовать функции Ляпунова, не удовлетворяющие условиям классических теорем (см., например, [3] и цитируемую там литературу).
В ходе работы изучались и разрабатывались методы анализа устойчивости решений нелинейных нестационарных систем. Для этого использовалась комбинация подходов и идей, используемых в прямом методе Ляпунова и теории дифференциальных неравенств. Особое внимание было уделено случаю, когда нестационарные коэффициенты системы либо неограниченно возрастают, либо, наоборот, исчезают со временем. Причем, предполагалось, что предельные системы, если таковые имеются, свойством устойчивости не обладают.
Были получены условия асимптотической устойчивости заданного положения равновесия нелинейной нестационарной системы так называемого треугольного вида, оценено влияние нестационарных возмущений на такую систему. Оценки на возмущения, при выполнении которых гарантируется асимптотическая устойчивость положения равновесия, в общем виде оказались достаточно объемными и громоздкими. Однако, при заданных числовых значениях параметров системы они довольно легко преобразуются в простые алгебраические неравенства.
Полученные результаты можно применять, в частности, для анализа поведения нелинейных механических систем, находящихся под воздействием нестационарных силовых полей.
