Введение 3
Глава 1. Теоретико-игровая модели 5
1.1. Построение игры 5
1.2. Кооперативный вариант 9
Глава 2. Сильная динамическая устойчивость 15
2.1. Определение понятия 15
2.2. Примеры 16
2.3. Процедура распределения дележа 22
Глава 3. Программная реализация 24
Глава 4. Теорема о сильной динамической устойчивости 36
Заключение 39
Список литературы 40
Приложение 42
В последнее время динамические игры все чаще находят применение в анализе математических моделей, описывающих сложные экологические и социально-экономические конфликты[2]. Отличительной особенностью таких игр является наличие нескольких игроков, поведение которых влияет на ситуацию, но ни один игрок в одиночку не может полностью определить развитие данной системах, поэтому большой интерес вызывает вопрос о кооперации в таких играх. Наиболее важным в кооперативной задаче является вопрос о распределении выигрыша между игроками.
Для решения этой проблемы в классической кооперативной теории была введена характеристическая функция в соответствии с концепцией Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна [9].Она показывает, какой максимальный выигрыш коалиция может получить, даже если все остальные игроки играют против нее. Но в динамических играх важно, чтобы игроки, двигаясь вдоль кооперативной траектории, не попали в ситуацию, которая могла бы побудить их выити из кооперации.
Поэтому в динамических играх существует понятие динамической устойчивости, а также сильной динамической устойчивости принципов оптимальности. Впервые это понятие было введено и исследовано Л.А.Петросяном [6]. Позднее Е.Прескотт и Ф.Кидланд обратили внимание на это свойство. В своей работе [10] они назвали это свойство состоятельностью во времени. Позднее была введена система выплат с целью предотвращения нарушения кооперативного соглашения [3], получившая название принципа распределения дележа.
Многие принципы оптимальности из классической теории не являются динамически устойчивыми[11](состоятельными во времени), что делает невозможным их применение в кооперативной динамической игре.
Поэтому одна из важнейших проблем современной теории динамических игр — построение и последующий анализ hobbix состоятельных во времени принципов оптималвности.
В работах по теории игр в качестве решения достаточно часто используется с-ядро[5]. Например, в работе[7] исследуется силвная динамическая устойчивости с-ядра.
Данная работа основана на статье Л. А. Петросяна, Я. Б. Панкратовой [7], в которой исследуется построение сильно-динамически устойчивых подъядер в дифференциальных играх с предписанной продолжительностью.
В работе будет составлена теоретико-игровая модель многошаговой игры с полной информацией и описана новая характеристическая функция, аналитически найдены с-ядра, построенные по данной характеристической функции на примерах задач, реализован программный алгоритм, способный решать данную задачу для 3 игроков, а также сформулирована и доказана теорема о сильной динамической устойчивости с-ядра, построенного по данной характеристической функции, которая дает дает возможность реального применения этого принципа оптимальности в динамической кооперативной игре с полной информацией.
В результате проведенной работы, была составлена теоретико-игровая модель многошаговой игры с полной информацией с заданным множеством очередностей. Была введена новая характеристическая функция, обеспечивающая сильную динамическую устойчивость c-ядра, построенного по ней. Аналитически были решены несколько примеров задач иллюстрирующих новую характеристическую функцию.
Создан программный алгоритм на языке Python, обеспечивающий поиск кооперативной траектории, суммарного выигрыша, значений характеристической функции и c-ядра по заданному графу игры, также проверяется непустота ядра. Было проведено успешное тестирование программы на новых и уже вычисленных примерах.
Также была доказана теорема о сильной динамической устойчивости c-ядра, построенного по новой характеристической функции, что делает возможным её применение для решения кооперативной многошаговой игры с полной информацией.
В дальнейшем, планируется расширить работу программы для большего количества игроков, а также провести исследование других характеристических функций.
