📄Работа №196047
Тема: Построение явной устойчивой схемы для решения одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности
Характеристики работы
Тип работы
Дипломные работы, ВКР
Предмет
Механика
Объем:
71 листов
Год:
2018
Просмотров:
82
4300
руб.
🛒 Купить работу
Не подходит эта работа?
Закажите новую по вашим требованиям
Узнать цену на написание
Закажите новую по вашим требованиям
Представленный материал является образцом учебного исследования, примером структуры и содержания учебного исследования по заявленной теме. Размещён исключительно в информационных и ознакомительных целях.
Workspay.ru оказывает информационные услуги по сбору, обработке и структурированию материалов в соответствии с требованиями заказчика.
Размещение материала не означает публикацию произведения впервые и не предполагает передачу исключительных авторских прав третьим лицам.
Материал не предназначен для дословной сдачи в образовательные организации и требует самостоятельной переработки с соблюдением законодательства Российской Федерации об авторском праве и принципов академической добросовестности.
Авторские права на исходные материалы принадлежат их законным правообладателям. В случае возникновения вопросов, связанных с размещённым материалом, просим направить обращение через форму обратной связи.
Настоящий учебно-методический информационный материал размещён в ознакомительных и исследовательских целях и представляет собой пример учебного исследования. Не является готовым научным трудом и требует самостоятельной переработки.
📋 Содержание
АННОТАЦИЯ 2
ВВЕДЕНИЕ 5
1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 8
1.1. Методы решения квазилинейного уравнения теплопроводности 10
1.1.1. Метод бегущей волны 10
1.1.2. Метод предиктор-корректор для явной устойчивой схемы 11
1.2. Распространение тепла в пространстве 14
1.2.1. Постановка краевых задач 16
1.2.2. Разностные схемы 18
1.4. Вывод по главе 25
Постановка задачи 27
2. ПОЛУЧЕНИЕ УСТОЙЧИВОЙ ЯВНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ ТРЕТЬЕЙ
СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ 30
2.1. Вывод расчетной схемы и рабочих формул для задачи с постоянными
коэффициентами 30
2.2. Устойчивость явной схемы для третьей смешанной задачи с постоянными
коэффициентами 34
2.3. Дифференциально-разностная схема для третьей смешанной задачи
теплопроводности с непостоянными коэффициентами 35
2.4. Вывод по главе 36
3. РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
С НЕПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ С ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ 37
3.1. Вывод рабочих формул для задачи с непостоянными коэффициентами . 37
3.2. Повышение порядка точности разностной схемы методом предиктор-
корректор 41
3.3. Приближенное решение квазилинейного уравнения теплопроводности способом интегрирования на промежутках линейности непостоянных
коэффициентов 43
3.4. Приведение задачи к безразмерному виду 50
3.5. Оценка результатов программы 53
3.6. Вывод по главе 55
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 57
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 59
ПРИЛОЖЕНИЕ 62
ВВЕДЕНИЕ 5
1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 8
1.1. Методы решения квазилинейного уравнения теплопроводности 10
1.1.1. Метод бегущей волны 10
1.1.2. Метод предиктор-корректор для явной устойчивой схемы 11
1.2. Распространение тепла в пространстве 14
1.2.1. Постановка краевых задач 16
1.2.2. Разностные схемы 18
1.4. Вывод по главе 25
Постановка задачи 27
2. ПОЛУЧЕНИЕ УСТОЙЧИВОЙ ЯВНОЙ СХЕМЫ ДЛЯ ТРЕТЬЕЙ
СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ 30
2.1. Вывод расчетной схемы и рабочих формул для задачи с постоянными
коэффициентами 30
2.2. Устойчивость явной схемы для третьей смешанной задачи с постоянными
коэффициентами 34
2.3. Дифференциально-разностная схема для третьей смешанной задачи
теплопроводности с непостоянными коэффициентами 35
2.4. Вывод по главе 36
3. РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
С НЕПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ С ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ 37
3.1. Вывод рабочих формул для задачи с непостоянными коэффициентами . 37
3.2. Повышение порядка точности разностной схемы методом предиктор-
корректор 41
3.3. Приближенное решение квазилинейного уравнения теплопроводности способом интегрирования на промежутках линейности непостоянных
коэффициентов 43
3.4. Приведение задачи к безразмерному виду 50
3.5. Оценка результатов программы 53
3.6. Вывод по главе 55
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 57
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 59
ПРИЛОЖЕНИЕ 62
📖 Аннотация
В данной работе исследуется проблема построения явной устойчивой разностной схемы для численного решения одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности. Актуальность исследования обусловлена широким применением нелинейных параболических уравнений для моделирования сложных физико-химических процессов, таких как распространение тепла в средах с зависящими от температуры свойствами, где линейные модели оказываются неадекватными. Основными результатами являются: сведение исходного уравнения к виду, удобному для дискретизации, путем специальной замены; построение явной разностной схемы относительно значения на следующем временном слое; разработка двух вариантов её реализации — с замороженными коэффициентами и с интегрированием по времени для учета их непостоянства; а также корректная постановка краевых условий третьего рода методом фиктивного слоя. Научная значимость заключается в разработке нового численного алгоритма, сочетающего явный характер вычислений с контролем устойчивости, что представляет интерес для теории разностных схем. Практическая ценность состоит в возможности эффективного программного моделирования нестационарных тепловых процессов. Теоретической основой работы послужили классические труды по численным методам и уравнениям математической физики Н.Н. Калиткина, А.А. Самарского, А.Н. Тихонова, а также современные исследования, посвященные явным схемам для квазилинейных уравнений, такие как работа А.В. Геренштейна и М.З. Хайрисламова.
📖 Введение
Одним из современных направлений математической физики считается изучение нелинейных математических моделей всевозможных физикохимических процессов и явлений. Появление таких моделей обосновано применениями в современной физике и технике влияний на вещество электрических полей высокой интенсивности, мощного лазерного когерентного излучения, пучков частиц высокой энергии, ударных волн большой интенсивности, мощных тепловых потоков. При описании различных процессов, линейные математические модели представляются всего лишь определенными приближениями. Ими можно воспользоваться только в том случае, когда изучаемые физические величины в исследуемом процессе изменяются в узком диапазоне значений.
Нелинейные модели позволяют нам увидеть процессы в более широком диапазоне изменения параметров. Нелинейности преобразуют качественную картину их протекания, а не только количественные характеристики процессов. В настоящее время не существует законченных теорий и общих методов решения задач нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, которые лежат в основе нелинейных моделей.
Фундаментом многих математических моделей являются нелинейные параболические уравнения второго порядка, которые используются в биологии и химии, физике и механике. К примеру, квазилинейное уравнение теплопроводности
z ч ди ,. z z . , . ^z ч z,4
c(x, t, u) — = div(g(x, t, u) gradw) + F(x, t,u), (1)
dt
при определенных критериях описывает процессы распространения выбросов отрицательной плавучести, химической кинетики и биологической активности , ионной и электронной теплопроводности в плазме, течения крови в мелких кровеносных сосудах, адиабатической фильтрации газов и жидкостей в пористых средах, диффузии нейтронов и альфа-частиц в реакторных материалах.
Применение основных законов сохранения при математическом моделировании разнообразных физических процессов зачастую приводит к одним и тем же нелинейным уравнениям параболического типа. Особенно часто встречается квазилинейное уравнение теплопроводности (1) среди уравнений данного типа. Поэтому есть основания утверждать, что исследование краевых задач для нелинейного уравнения теплопроводности остается до настоящего времени актуальной темой изучения. Несмотря на бессчетные работы по исследованию процессов нелинейной теплопроводности, до сих пор не получены точные решения целого ряда краевых задач, описываемых нелинейным уравнением теплопроводности. Поэтому численные методы решения таких задач представляют большой интерес.
...
Нелинейные модели позволяют нам увидеть процессы в более широком диапазоне изменения параметров. Нелинейности преобразуют качественную картину их протекания, а не только количественные характеристики процессов. В настоящее время не существует законченных теорий и общих методов решения задач нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, которые лежат в основе нелинейных моделей.
Фундаментом многих математических моделей являются нелинейные параболические уравнения второго порядка, которые используются в биологии и химии, физике и механике. К примеру, квазилинейное уравнение теплопроводности
z ч ди ,. z z . , . ^z ч z,4
c(x, t, u) — = div(g(x, t, u) gradw) + F(x, t,u), (1)
dt
при определенных критериях описывает процессы распространения выбросов отрицательной плавучести, химической кинетики и биологической активности , ионной и электронной теплопроводности в плазме, течения крови в мелких кровеносных сосудах, адиабатической фильтрации газов и жидкостей в пористых средах, диффузии нейтронов и альфа-частиц в реакторных материалах.
Применение основных законов сохранения при математическом моделировании разнообразных физических процессов зачастую приводит к одним и тем же нелинейным уравнениям параболического типа. Особенно часто встречается квазилинейное уравнение теплопроводности (1) среди уравнений данного типа. Поэтому есть основания утверждать, что исследование краевых задач для нелинейного уравнения теплопроводности остается до настоящего времени актуальной темой изучения. Несмотря на бессчетные работы по исследованию процессов нелинейной теплопроводности, до сих пор не получены точные решения целого ряда краевых задач, описываемых нелинейным уравнением теплопроводности. Поэтому численные методы решения таких задач представляют большой интерес.
...
✅ Заключение
В ходе выполнения данной работы были получены следующие результаты:
• рассмотрены способы численного решения квазилинейного уравнения с применением чисто неявных схем;
• исходное квазилинейное уравнение теплопроводности с помощью замены сведено к виду, в котором коэффициент теплопроводности не входит под знак дивергенции;
• получено обыкновенное дифференциальное уравнение явной разностной схемы относительно значения неизвестной функции на следующем временном слое;
• для задания краевых условий выбран метод введения фиктивного слоя, получено квадратное уравнение, один из корней которого является значением искомой функции в фиктивном слое;
• выполнено обезразмеривание задачи;
• предложены два варианта реализации явной схемы:
а) с использованием значений коэффициентов уравнения на предыдущем временном слое (коэффициенты уравнения суть константы);
б) с интегрированием полученного дифференциального уравнения по времени на промежутке , где г - временной шаг разностной схемы, и нахождением значения искомой функции методом дихотомии на промежутках монотонности полученной первообразной (коэффициенты уравнения являются непостоянными).
В дальнейшем планируется составить программу на языке программирования C++, реализующие оба варианта построенной явной схемы, а также линейный и нелинейный вариант чисто неявной схемы, провести сравнение решений третьей смешанной задачи, полученных при использовании указанных выше схем. По результатам сравнения сделать заключение о возможностях практического применения построенной явной схемы для решения квазилинейного уравнения теплопроводности.
• рассмотрены способы численного решения квазилинейного уравнения с применением чисто неявных схем;
• исходное квазилинейное уравнение теплопроводности с помощью замены сведено к виду, в котором коэффициент теплопроводности не входит под знак дивергенции;
• получено обыкновенное дифференциальное уравнение явной разностной схемы относительно значения неизвестной функции на следующем временном слое;
• для задания краевых условий выбран метод введения фиктивного слоя, получено квадратное уравнение, один из корней которого является значением искомой функции в фиктивном слое;
• выполнено обезразмеривание задачи;
• предложены два варианта реализации явной схемы:
а) с использованием значений коэффициентов уравнения на предыдущем временном слое (коэффициенты уравнения суть константы);
б) с интегрированием полученного дифференциального уравнения по времени на промежутке , где г - временной шаг разностной схемы, и нахождением значения искомой функции методом дихотомии на промежутках монотонности полученной первообразной (коэффициенты уравнения являются непостоянными).
В дальнейшем планируется составить программу на языке программирования C++, реализующие оба варианта построенной явной схемы, а также линейный и нелинейный вариант чисто неявной схемы, провести сравнение решений третьей смешанной задачи, полученных при использовании указанных выше схем. По результатам сравнения сделать заключение о возможностях практического применения построенной явной схемы для решения квазилинейного уравнения теплопроводности.
ИЛИ
Поиск аналога
📕 Список литературы
🖼 Скриншоты
🛒 Оформить заказ
⚡ Работу высылаем в течении 5 минут после оплаты.