Тема: Аналитическое и численное исследование задачи о колебаниях битого льда в канале

Во многих прикладных задачах, учитывающих взаимодействие ледового покрова и жидкости, жидкости и конструкций и т.п., возникает необходимость изучения вынужденных волновых колебаний жидкости. Вынужденные колебания являются следствием приложения внешних сил к поверхности жидкости. Поверхность жидкости может рассматриваться как классическая свободная поверхность [1], флотирующая жидкость (ненулевая масса поверхности) [2] или упругая поверхность (поверхность с ненулевой массой и обладающая изгибными силами) [3]. Исследования задач волнового движения жидкости, покрытой тонкой упругой пластиной имеет практическое значение для природных (ледовый покров) и искусственных (плавающие гибкие волнорезы, плавающие аэропорты и т.п.) структур [3-5]. Классическим подходом к изучению динамики ледового покрова является линейная теория гидроупругости [6-8]. В этом подходе лед моделируется тонкой упругой пластиной в рамках теории Кирхгофа-Лява (или, в двумерном случае, балкой Эйлера Бернулли), а жидкость считается идеальной и несжимаемой. Обычно под решением таких задач понимаются функция отклонения поверхности от положения покоя и потенциал скорости течения. Форма вынужденных колебаний определяется как комбинация свободных волн с разными волновым числом и частотой волны.
Искусственное разрушение ледового покрова судном на воздушной подушке и/или разрушение льда волнами на открытой воде приводит к образованию зоны битого льда. Характеристики битого льда отличаются от характеристик свободной поверхности и от сплошного ледового покрова, что приводит к изменению поведения распространяемых волн. При движении судна по битому льду основной прикладной задачей является определение параметров, гарантирующих безопасное движение. При отсутствии упругих сил в битом льду могут возникать волны большой амплитуды, как в области движения судна, так и в отдалении от него, в частности на стенках канала и возле речных сооружений. Рассматриваемая задача является близкой по постановке к задачам движения кораблей в морских льдах по полынье, образованной впереди идущим ледоколом, или движение по приграничной зоне ледового покрова. Поэтому, при решении задач на вынужденные колебания, возникает задача определения возможных свободных колебаний, или, в случае неограниченной области - прогрессивных (распространяющихся) волн, для заданного набора физических параметров и начально-краевых условий задачи [9, 10]. Основными искомыми характеристиками прогрессивных волн являются зависимость частоты волны от волнового числа и скорости распространения волн в пространстве. Предполагается, что лед был предварительно разрушен резонансным методом судном на воздушной подушке, которое движется вдоль замороженной части реки на определенной скорости и создает напряженно-деформированное состояние ледового покрова. Вызванные напряжения могут быть достаточными для ломки льда [11,12].
Случай когда верхняя поверхность канала описывается ледовым покровом хорошо изучена в прошлом. Прогрессивные волны в замороженном канале исследованы в [10, 13, 14]. Колебания неограниченной тонкой ледовой пластины исследованы в [15,16], колебания полубесконечного ледового покрова в [17]. Рассмотренные задачи решались в рамках линейной теории гидроупругости. При исследовании вынужденных колебаний внешняя нагрузка моделировалась гладким локализованным пятном давления. Показано, что стенки канала имеют важную роль в формировании прогибов ледового покрова. Исследование колебаний ледового покрова проведено в [18,19]. Оценка влияния периодической нагрузки на ледовый покров получена в [20,21]. Вопросы корректности начально-краевых задач динамики пороупругого льда рассмотрены в [22, 23].
Основной целью данной работы является постановка и численное исследование задачи о колебаниях битого льда в канале, вызванных движением внешней нагрузки. Битый лед моделируется флотирующей жидкостью. В рассматриваемой модели учитывается условие затухания волн в отдалении от нагрузки. Битый лед имеет постоянную толщину. Жидкость в канале предполагается идеальной и несжимаемой [24]. Движение жидкости в канале является потенциальным и вызвано отклонением битого льда от состояния покоя. Краевые условия на битый лед на стенках канала отсутствуют.

Купить

В работе исследована задача о движении внешней нагрузки с постоянной скоростью вдоль центральной линии канала. Канал заполнен идеальной жидкостью и покрыт битым льдом. Жидкость в канале невязкая и несжимаемая. Битый лед моделируется флотирующей жидкостью. Течение, вызванное прогибами битого льда, потенциальное. Нагрузка моделируется гладким локализованным пятном давления.
Исследованы установившиеся прогибы битого льда в системе координат, движущейся совместно с нагрузкой. Рассмотрены случаи вязкого и невязкого битого льда. Исходная задача с помощью преобразования Фурье сведена к задаче относительно профиля прогибов льда поперек канала, которая решена разложением на систему функцию, описывающую колебания жидкости поперек канала. Показано, что при движении нагрузки с постоянной скоростью форма прогибов льда имеет волновую структуру. Наблюдаемые волны распространяются сзади нагрузки. Вязкость льда увеличивает затухание волн в отдалении от нагрузки. Наиболее сильный эффект вязкости льда наблюдается для коротких волн. При увеличении скорости движения нагрузки уменьшается амплитуда прогибов битого льда и увеличивается длина вынужденной волны. При увеличении ширины канала уменьшаются амплитуды прогибов битого льда.
Исследована нестационарная задача о колебаниях битого льда в канале под действием движущейся нагрузки. Доказаны теоремы единственности и устойчивости по начальным данным классического решения задачи. Асимптотическими методами решения интегралов с большим параметром получена аналитическая формула для прогибов битого льда при больших временах. Полученная формула дает простую интерпретацию формирования прогибов битого льда в виде суммы локальных прогибов возле нагрузки и бесконечной системы волн, распространяющейся от нагрузки с ее же скоростью. Для этой системы волн исследована сходимость соответствующих амплитуд. Амплитуды волн уменьшаются при увеличении частоты волны. Для аккуратного определения прогибов битого льда необходимо учитывать от 20 до 30 волн с наибольшей частотой. Максимальные амплитуды для рассматриваемого случая наблюдались для небольшого значения скорости движения нагрузки.

Купить