Тип работы:
Предмет:
Язык работы:


Применение элементов проективной геометрии на расширенной плоскости к решению задач элементарной геометрии

Работа №87720
Тип работыДипломные работы, ВКР
Предметматематика
Объем работы56
Год сдачи2013
Стоимость4260 руб.
ПУБЛИКУЕТСЯ ВПЕРВЫЕ
Просмотрено 9
Не подходит работа?

Узнай цену на написание

Введение 3
1- Предмет проективной геометрии 6
1.1. Понятие проективного пространства 6
12. Расширенное евклидово пространство 9
1.3. Аксиоматика проективной геометрии 14
1.4. Принцип двойственности 17
1.5. Теорема Дезарга 20
1.6. Сложное отношение четырех точек прямой, отношение прямых пучка 28
2. Приложение проективной геометрии к решению задач элементарной геометрии 32
2.1. Схема решения задач 32
2.2. Примеры задач 36
Заключение 53
Литература

Актуальность исследования. Проективная геометрия входит в программу нормативного курса геометрии педагогического вуза, однако применимости элементов проективной геометрии к решению задач Элементарной геометрии специально не рассматривается. Замкнутое компактное изложение этого вопроса и выявление опорных задач является весьма актуальным.
Произведя реконструкцию евклидового пространства путем дополнения его новыми, так называемыми «несобственными», элементами, получим геометрическое пространство, являющееся моделью трёхмерного проективного пространства. Структура n-мерного проективного пространства определяется по схеме Вейля с помощью (п+ 1)-мерного векторного пространства над полем R. Для случая трёхмерного проективного пространства, однако, возможен другой подход (синтетический), когда базу структуры составляют множества точек, прямых и плоскостей, а неопределяемым отношением является отношение принадлежности (инцидентности). В аксиомах перечисляются свойства, необходимые для обоснования и развития проективной геометрии. Предлагаемая концепция изложения материала обладает некоторыми педагогическими преимуществами; она позволяет тесно связать понятия и теоремы проективной геометрии с материалом элементарной геометрии, что имеет большое значение для будущих преподавателей математики и для кружковой работы с учащимися школ.
В проективной геометрии бесконечно удаленные элементы играют такую же роль, как и обыкновенные геометрические образы, и являются органической частью проективного пространства. Бесконечно удаленные элементы нередко вводятся в рассмотрение и в элементарной геометрии. Но их использование, по существу, ограничивается лишь особой манерой ело-
веского выражения геометрических фактов (вместо того чтобы говорить, что прямые параллельны, их называют сходящимися в бесконечности, цилиндр рассматривают как конус с бесконечно удаленной вершиной и т. д.). Причина такого различия становится ясной при сравнении объектов исследования элементарной геометрии евклидова пространства и проективной геометрии.
Элементарная геометрия посвящена изучению аффинных свойств фигур (это те свойства, которые сохраняются при аффинных преобразованиях) и метрических свойств, т. е. таких свойств, которые связаны с измерением геометрических величин (длин, углов и площадей) и сохраняются при движениях плоскости. Измерение любого отрезка АВ с обыкновенными концами всегда приводит в результате к определенному числу, выражающему длину отрезка АВ. Но когда один конец отрезка является бесконечно удаленной точкой, процесс измерения теряет смысл, т. к. на таком отрезке линейная единица откладывается бесконечно много раз. Процесс измерения углов неприменим в том случае, когда одна сторона угла есть бесконечно удаленная прямая, способы измерения площадей неприменимы к фигурам, содержащим бесконечно удаленные элементы.
Таким образом, в элементарной геометрии бесконечно удаленные элементы по необходимости играют особую роль и по свойству своих отношений к обыкновенным геометрическим элементам существенно от них отличаются. В проективной геометрии, поскольку метрические свойства фигур не являются ее объектами, указанные выше обстоятельства, отличающие бесконечно удаленные элементы от остальных, теряют силу. Так как при центральном проектировании бесконечно удаленные элементы могут переходить в обыкновенные, то они не обладают никакими проективными свойствами, которые отличали бы их от обыкновенных элементов. В проективной геометрии, вообще говоря, различий между обыкновенными и бесконечно удаленными элементами нет.
Цель исследования: обосновать возможность и выделить приёмы решения задач элементарной геометрии методами проективной геометрии.
Задачи:
• обобщение и систематизация результатов исследования данной темы, содержащихся в научной литературе;
• рассмотрение задач элементарной геометрии, к которым применимы методы проективной геометрии, и описание их решения;
• составление схемы решения задач элементарной геометрии методами проективной геометрии (дана в §27 [6]).
Объект исследования: проективная геометрия расширенной плоскости.
Предмет исследования: задачи элементарной геометрии, формулируемые и решаемые методами проективной геометрии.
Методы исследования: метод координат на проективной плоскости, метод геометрических преобразований, аналитико-синтетический аксиоматический метод.
Значимость работы:
1) Предлагаемая концепция изложения материала курса проективной геометрии позволяет тесно связать понятия и теоремы проективной геометрии с материалом элементарной геометрии.
2) Материал работы имеет практическое значение для будущих преподавателей математики.
3) Данная работа поспособствует квалифицированному проведению факультативных курсов в классах с углубленным изучением естественных наук.
Структура и объем работы. ВКР состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы. Общий объём работы составляет 56 страниц, включая формулы и чертежи.


Возникли сложности?

Нужна помощь преподавателя?

Помощь в написании студенческих
и аспирантских работ!


Работа имеет традиционную структуру и включает в себя введение, основную часть, состоящую из 2 глав, заключение и библиографический список.
Во введении была обоснована актуальность исследования, поставлены цель и задачи, указана значимость данной работы.
Глава 1 раскрывает предмет проективной геометрии, в ней определяются основные понятия проективного пространства, как расширенного евклидового пространства. Проективная геометрия, как и евклидова, может быть построена на собственном аксиоматическом фундаменте, отсюда была рассмотрена аксиоматика проективной геометрии. Также необходимо сказать, что отличительным признаком проективной геометрии от аффинной, считается то, что она характеризуется наличием принципов двойственности и специальной классификацией основных геометрических форм.
В работе рассматриваются формулировки и доказательства фундаментальных теорем проективной геометрии — прямой и обратной теорем Дезарга, справедливых как в пространстве, так и на плоскости. После рассмотрения сложного отношения четырех точек прямой был сделан вывод о том, что это свойство является основным инвариантом проективных преобразований и играет в проективной геометрии такую же роль, как простое отношение трех точек в аффинной геометрии и расстояние между двумя точками в евклидовой геометрии.
В главе 2 приведены задачи элементарной геометрии, которые были сформулированы и решены методами проективной геометрии. Формулировки задач были взяты из учебных пособий |5], |6|, |7], |20|, [23], |27|, |28], [33). Решения задач 1-5 и 12-17 были найдены в этих же пособиях. При этом были упрощены некоторые построения и заменены обозначения геометрических объектов. Задачи 5-11. 19 были решены самостил основываясь на понятиях и теоремах, введенных в пункте 1.5 3» также была решена самостоятельно, но для ее решения, стало необходимым дополнительно изучить метод координат на проективной плоскости (|5|, |6|).
По результатам исследования были подняты проблемы, имеющие отношение к рассматриваемой теме, и сделаны выводы о необходимости дальнейшего изучения данного вопроса. Таким образом, актуальность данной проблемы определила выбор темы работы «Применение элементов проективной геометрии на расширенной плоскости к решению задач элементарной геометрии», круг вопросов и логическую схему ее построения.
Все чертежи выполнены в свободно распространяемой (GPL) динамической геометрической среде — GeoGebra, которая даёт возможность создавать геометрические чертежи, в частности, построения с помощью циркуля и линейки.



[1] Александров А.Д. Геометрия: Учеб, пособие. / А.Д. Александров, Н. Ю. Нецветаев. М.: Наука, 1990. - 672 с.: ил.
[2] Артин Э. Геометрическая алгебра. - М.: Наука, 1969. - 285 с.
[3] Атанасян Л. С. Сборник задач по геометрии. Ч. 1. Учеб, пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. / Л. С. Атанасян, В. А. Атана¬сян М.: Просвещение, 1973. 256 с.
[4] Атанасян Л. С. Геометрия. Ч. 1. Учеб, пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. / Л. С. Атанасян, В.Т. Базылев. - М.: Просвещение,
1986. - 336 с.: ил.
[5] Атанасян Л. С. Геометрия. Ч. 2. Учеб, пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. / Л. С. Атанасян, В.Т. Базылев. М.: Просвещение,
1987.- 352 с.: ил.
|6] Атанасян Л. С. Геометрия. Ч. 2. Учеб, пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. / Л. С. Атанасян, Г. Б. Гуревич. - М.: Просвещение, 1976. - 447 с.: ил.
[7] Базылев В.Т. Геометрия. Учеб, пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. / В. Т. Базылев, К. И. Дуничев. - М.: Просвещение, 1975. 367 с.: ил.
[8] Бакельман И. Я. Высшая геометрия. Учеб, пособие для пед. ин-тов. М.: Просвещение, 1967. - 368 с.: ил.
[9] Буземан Г. Проективная геометрия и проективные метрики. / Г. Бу¬земан, П. Келли. М.: Изд. иностранной литературы, 1957. - 409 с. 
[10] Бэр Р. Линейная алгебра и проективная гвомгтрп. - странной литературы. 1955. - 400 с.
[11] Больберг А. О. Основные идеи проективной геометрии. - педгиз, 1949. - 189 с.
[12] Глаголев Н.А. Проективная геометрия. Учеб, пособие для студентов университетов. -- М.: Высшая школа, 1963. - 345 с.
[13] Делоне Б. Н. Аналитическая геометрия. В 2 т. Т. 2. / Б. Н. Делоне, Д. А. Райков. - М. Л.: ГИТТЛ, 1949. - 518 с.
|14] Ефимов Н. В. Высшая геометрия.-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 584 с.
[15] Житомирский О. К. Задачи по высшей геометрии. / О. К. Житомир¬ский, В.Д. Львовский, В.И. Милинский. - Л.-М.: ОНТИ, 1935.
[16] Игнациус Г. И. Проективная геометрия. - М.: Знание. 1966. - 50 с.
[17] Клейн Ф. Неевклидова геометрия. -М.: Изд. НКТП СССР. 1936. -358с.
[18] Кокстер Г. С. М. Введение в геометрию. - М.: Наука, 1966. 648 с.: ил.
[19] Кокстер Г. С.М. Действительная проективная плоскость. М.: Фпз- матгиз, 1959. - 280 с.
[20] Комиссару к А. М. Проективная геометрия в задачах. Учеб, пособие для мат. фак. пед. ин-тов. - Мн.: Вышэйш. школа, 1971. - 265 с.
[21] Курант Р. Что такое математика? / Р. Курант, Г. Роббинс. 3-е изд., испр. и доп. - М.: МЦНМО, 2001. - 568 с.
[22] Певзнер С. Л. Проективная геометрия. Учеб, пособие по курсу «Гео-метрия» для студентов-заочников 2-3 курсов физ.-мат. фак. М.: Про-свещение, 1980. - 128 с.
[23] Певзнер С. Л. Задачник-практикум по проективной геометрии. Учеб, пособие для студентов-заочников 2-3 курсов физ.-мат. фак. пед. ин- тов. / С. Л. Певзнер, М. М. Цаленко. - М.: Просвещение, 1982. 80 с.
[24] Погорелов А.В. Геометрия. - М.: Наука, 1983. - 288 с.
[25] Понарин Я. П. Аффинная и проективная геометрия.МО, 2009. - 288 с.
[26] Прасалов В.В. Геометрия. /'В.В. Прасалов, В.М. Тихомиров, изд., перераб. и доп. - М.: МНЦМО, 2007. - 328 с.: ил.
[27] Сборник задач по геометрии. Учеб, пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. Ч. 2. / Под ред. Л. С. Атанасяна - М.: Просвещение, 1975. - 176 с.: ил.
[28] Сборник задач по геометрии. Учеб, пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. / Под ред. В.Т. Базылева. - М.: Просвещение, 1980. - 240 с.
[29] Скопец З.А. Задачи и теоремы по геометрии. Планимет¬рия. / З.А. Скопец, В.А. Жаров. - М.: Учпедгиз, 1962. - 165 с.
|30] Фиников С.П. Аналитическая геометрия: Курс лекций. - М.: Эдиториал УРСС, 2008. - 328 с.
[31] Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. Учеб, пособие для сту-дентов университетов. - М.: Мир, 1970. - 170 с.
[32] Четвертухин Н.Ф. Проективная геометрия. - М.: Учпедгиз, 1961. 360 с.
[33] Щербаков Р. Н. От проективной геометрии — к неевклидовой. /
Р. Н. Щербаков, Л. Ф. Пичурин. - М.: Просвещение, 1979. 160 с.
[34] Яглом И. М. Идеи и методы афинной и проективной геометрии. Ч. 1. / И. М. Яглом, В. Г. Ашкинузе. - М.: Учпедгиз, 1962. - 248 с.


Работу высылаем на протяжении 30 минут после оплаты.




© 2008-2022 Cервис помощи студентам в выполнении работ