Применение элементов проективной геометрии на расширенной плоскости к решению задач элементарной геометрии

Введение 3
1- Предмет проективной геометрии 6
1.1. Понятие проективного пространства 6
12. Расширенное евклидово пространство 9
1.3. Аксиоматика проективной геометрии 14
1.4. Принцип двойственности 17
1.5. Теорема Дезарга 20
1.6. Сложное отношение четырех точек прямой, отношение прямых пучка 28
2. Приложение проективной геометрии к решению задач элементарной геометрии 32
2.1. Схема решения задач 32
2.2. Примеры задач 36
Заключение 53
Литература
Купить

Актуальность исследования. Проективная геометрия входит в программу нормативного курса геометрии педагогического вуза, однако применимости элементов проективной геометрии к решению задач Элементарной геометрии специально не рассматривается. Замкнутое компактное изложение этого вопроса и выявление опорных задач является весьма актуальным.
Произведя реконструкцию евклидового пространства путем дополнения его новыми, так называемыми «несобственными», элементами, получим геометрическое пространство, являющееся моделью трёхмерного проективного пространства. Структура n-мерного проективного пространства определяется по схеме Вейля с помощью (п+ 1)-мерного векторного пространства над полем R. Для случая трёхмерного проективного пространства, однако, возможен другой подход (синтетический), когда базу структуры составляют множества точек, прямых и плоскостей, а неопределяемым отношением является отношение принадлежности (инцидентности). В аксиомах перечисляются свойства, необходимые для обоснования и развития проективной геометрии. Предлагаемая концепция изложения материала обладает некоторыми педагогическими преимуществами; она позволяет тесно связать понятия и теоремы проективной геометрии с материалом элементарной геометрии, что имеет большое значение для будущих преподавателей математики и для кружковой работы с учащимися школ.
В проективной геометрии бесконечно удаленные элементы играют такую же роль, как и обыкновенные геометрические образы, и являются органической частью проективного пространства. Бесконечно удаленные элементы нередко вводятся в рассмотрение и в элементарной геометрии. Но их использование, по существу, ограничивается лишь особой манерой ело-
веского выражения геометрических фактов (вместо того чтобы говорить, что прямые параллельны, их называют сходящимися в бесконечности, цилиндр рассматривают как конус с бесконечно удаленной вершиной и т. д.). Причина такого различия становится ясной при сравнении объектов исследования элементарной геометрии евклидова пространства и проективной геометрии.
Элементарная геометрия посвящена изучению аффинных свойств фигур (это те свойства, которые сохраняются при аффинных преобразованиях) и метрических свойств, т. е. таких свойств, которые связаны с измерением геометрических величин (длин, углов и площадей) и сохраняются при движениях плоскости. Измерение любого отрезка АВ с обыкновенными концами всегда приводит в результате к определенному числу, выражающему длину отрезка АВ. Но когда один конец отрезка является бесконечно удаленной точкой, процесс измерения теряет смысл, т. к. на таком отрезке линейная единица откладывается бесконечно много раз. Процесс измерения углов неприменим в том случае, когда одна сторона угла есть бесконечно удаленная прямая, способы измерения площадей неприменимы к фигурам, содержащим бесконечно удаленные элементы.
Таким образом, в элементарной геометрии бесконечно удаленные элементы по необходимости играют особую роль и по свойству своих отношений к обыкновенным геометрическим элементам существенно от них отличаются. В проективной геометрии, поскольку метрические свойства фигур не являются ее объектами, указанные выше обстоятельства, отличающие бесконечно удаленные элементы от остальных, теряют силу. Так как при центральном проектировании бесконечно удаленные элементы могут переходить в обыкновенные, то они не обладают никакими проективными свойствами, которые отличали бы их от обыкновенных элементов. В проективной геометрии, вообще говоря, различий между обыкновенными и бесконечно удаленными элементами нет.
Цель исследования: обосновать возможность и выделить приёмы решения задач элементарной геометрии методами проективной геометрии.
Задачи:
• обобщение и систематизация результатов исследования данной темы, содержащихся в научной литературе;
• рассмотрение задач элементарной геометрии, к которым применимы методы проективной геометрии, и описание их решения;
• составление схемы решения задач элементарной геометрии методами проективной геометрии (дана в §27 [6]).
Объект исследования: проективная геометрия расширенной плоскости.
Предмет исследования: задачи элементарной геометрии, формулируемые и решаемые методами проективной геометрии.
Методы исследования: метод координат на проективной плоскости, метод геометрических преобразований, аналитико-синтетический аксиоматический метод.
Значимость работы:
1) Предлагаемая концепция изложения материала курса проективной геометрии позволяет тесно связать понятия и теоремы проективной геометрии с материалом элементарной геометрии.
2) Материал работы имеет практическое значение для будущих преподавателей математики.
3) Данная работа поспособствует квалифицированному проведению факультативных курсов в классах с углубленным изучением естественных наук.
Структура и объем работы. ВКР состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы. Общий объём работы составляет 56 страниц, включая формулы и чертежи.

Купить