Актуальность. О кривых в наше время сказано много, и вместе с тем недостаточно. Большинство статей на эту тему посвящено функционалу инструмента Curves в Adobe Photoshop, в то время, как кривые — куда более глобальное и важное понятие. Несмотря на то, что рассматривать их действие удобнее всего действительно в Фотошопе, надо понимать, что в том или ином виде кривые существуют практически в любой программе. Даже там, где в прямом виде вы не увидите привычной кривой, скорее всего она существует. Даже когда вы меняете параметры уравнения, на самом деле вы управляете формой некоторой кривой. Более того, даже если вы снимаете на плёнку, после проявки ваше изображение также будет определяться так называемой характеристической (передаточной) кривой данной конкретной фотоплёнки. Мы избираем строго научный подход к теории кривых; будем изучать их методами дифференциальной геометрии.
Объект исследования: теория кривых в трехмерном евклидовом пространстве.
Предмет исследования: натуральные уравнения кривых и задача восстановления формы кривой по ее натуральным уравнениям, а также кривые Бертрана [3].
Цель дипломной работы: изучение форм тех или иных фигур (многоугольников, многогранников, кривых, поверхностей и т.д.), т.е. взаимного расположения частей этих фигур.
Задачи дипломной работы: рассмотреть понятия: «натуральные уравнения кривых», «кривые Бертрана»; раскрыть метод инвариантов, значимость инвариантов кривой первого и второго порядка и выявить их взаимосвязь; рассмотреть основные уравнения кривых и их формы.
В дипломной работе рассмотрена теория плоских кривых и замечательных кривых. Материал систематизирован для целостного изложения.
Натуральные уравнения [3] — уравнения, выражающие кривизну к и кручение s кривой как функции её дуги: к = к(s), s = s(s). Наименование "Натуральные уравнения" объясняется тем обстоятельством, что функции к (s)и s(s) не зависят от положения кривой в пространстве (от выбора системы координат), а зависят только от формы кривой. Две трижды непрерывно дифференцируемые кривые, имеющие одинаковые натуральные уравнения, могут отличаться друг от друга только положением в пространстве. Иначе говоря, форма кривой однозначно определяется её натуральными уравнениями. Если заданы две непрерывные функции к (s)и s(s), из которых первая положительная, то всегда существует кривая, для которой данные функции являются соответственно кривизной и кручением.
Результаты работы могут быть применены для внеклассной работы со школьниками; можно предложить разработку факультатива для учащихся 9-11 классов на тему «Плоские кривые».
Можно констатировать, что цель работы достигнута, задачи выполнены.
