Интегральное уравнение - это уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интеграла. Интегральные уравнения делятся на два основных класса: линейные интегральные уравнения и нелинейные интегральные уравнения. Мы будем рассматривать только линейные интегральные уравнения, которые имеют следующий вид:
Ах(рх+ К х, s
где А, К, f - заданные функции, из которых А называется коэффициентом, К - ядром, f - свободным членом, D - ограниченная или неограниченная область евклидова пространства одного или многих измерений, х, s - точки этого пространства, ds - элемент объема, ср - искомая функция. Требуется определить ф так, чтобы уравнение (1) удовлетворялось для всех х из D. Если в (1) А, К - матрицы, f, ф - вектор-функции, то (1) называется системой линейных интегральных уравнений. Если f=0, то интегральное уравнение называется однородным, в противном случае - неоднородным. В зависимости от коэффициента А различают три типа линейных уравнений. Если А(х)=0 для всех xGD, то (1) называется уравнением первого рода; если А(х) Ф 0 для всех х £ D - уравнением второго рода; если А(х) обращается в нуль на некотором подмножестве области D - уравнением третьего рода. В дальнейшем, для простоты изложения, рассмотрим интегральные уравнения в одномерном случае, когда D- конечный отрезок [а,Ь]. В этом случае линейные интегральные уравнения первого и второго рода можно представить соответственно в виде:
bК х,s ф s ds = f х ,х £ а,Ь (2)
фх — X bKx, s 9(s)ds = f х ,х £ a,b (3)
где постоянное число X называется параметром интегрального уравнения. Если ядро К фредгольмово, т.е. интегральный оператор в уравнениях (2), (3) вполне непрерывен, то интегральные уравнения (2),
(3) называются уравнениями Фредгольма первого и второго рода соответственно. Уравнение
(рх-к bK x,s (p(s)ds = 0,х е а,Ь (4)
называется однородным интегральным уравнением, соответствующим неоднородному интегральному уравнению (3). Однородное интегральное уравнение всегда имеет решение ф = 0 , которое называется нулевым (или тривиальным) решением. Значение параметра X, при котором интегральное уравнение (4) имеет ненулевое решение ср, называется характеристическим (или фундаментальным) значением (числом) ядра К или интегрального уравнения (4), а ненулевое решение Ф - собственной (или фундаментальной) функцией ядра К или интегрального уравнения (4), принадлежащей (или соответствующей) данному характеристическому значению X . Если X не есть характеристическое число, тогда его называют правильным (или регулярным) значением (числом).
Комплексное ядро К называется эрмитовым, если
К х, s = К(х, s)
где черта означает переход к комплексно сопряженному значению. В случае вещественного ядра равенство (5) принимает вид K(x,s)=K(s,x). Такое ядро называется симметричным.
Фредгольмово ядро может и не иметь характеристического числа (например, в случае ядра Вольтерра). Если ядро симметрично и не равно нулю почти всюду, тогда оно имеет, по крайней мере, одно характеристическое число и все характеристические числа вещественны.
Если ядро K обращается в нуль при s>x (так называемое ядро
Вольтерра), то уравнения (2) и (3) принимают вид:
ХК х,s ф s ds = f х , а
Ф х - X ахК х, s ф s ds = f х , а
Эти уравнения называются уравнениями Вольтерра 1-го и 2-го рода соответственно.
Построение общей теории линейных интегральных уравнений было начато в конце 19 века. Основоположниками этой теории считаются В. Вольтерра, Э. Фредгольм, Д. Гильберт и Э. Шмидт. Еще до исследований этих ученых для построения решения интегральных уравнений был предложен метод последовательных приближений. Этот метод применялся сначала для решения нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра в связи с исследованиями обыкновенных дифференциальных уравнений в работах Ж. Лиувилля, Л. Фукса, Дж. Пеано и др., а К. Нейманом - для построения решения линейного интегрального уравнения 2-го рода. Общую форму методу последовательных приближений придал Э.Пикар.
В. Вольтерра изучил интегральные уравнения вида (6), (7) и доказал, что если ядро и правая часть уравнения непрерывны, то (7) имеет при любом конечном значении X одно и только одно непрерывное решение, которое можно построить по методу последовательных приближений. Уравнение (3) изучалось Э.Фредгольмом в предположении, что его ядро, а также правая часть и искомое решение - непрерывные функции соответственно на квадрате a, b х а, b и на сегменте [а,Ь]. Следуя В.Вольтерра, Э.Фредгольм заменил интеграл в (3) интегральной суммой и рассмотрел интегральное уравнение (3) как предельный случай конечной системы линейных алгебраических уравнений. С помощью формального перехода к пределу Э. Фредгольм получил формулу, дающую решение уравнения (3); доказал, что построенная формула является решением уравнения (3) за исключением конечного или счетного множества значений параметра X, и доказал теоремы об условиях разрешимости уравнения (3). Построенную теорию уравнения (3) Э. Фредгольм распространил на случай системы интегральных уравнений. Решение системы приводится к решению одного уравнения, ядро которого имеет линии разрыва, параллельные осям координат.
Целью дипломной работы является изучение свойств характеристических чисел интегральных уравнений.
В дипломной работе будут рассмотрены интегральные уравнения, содержащие характеристические числа, например интегральные уравнения с эрмитовым ядром, и интегральные уравнения, не содержащие характеристических чисел, например интегральные уравнения Вольтерра.
В настоящей дипломной работе:
• проведен обзор литературы по теории интегральных уравнений,
• рассмотрены интегральные уравнения, ядра которых имеют характеристические числа, а также уравнения, не имеющие
характеристических чисел,
• разобран метод последовательных приближений,
• сформулированы и доказаны теоремы Фредгольма,
• изучены некоторые свойства характеристических
чисел интегральных уравнений,
• рассмотрены теорема Гильберта-Шмидта и теорема Лалеско.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
