ВВЕДЕНИЕ 3
1 Классическая задача Гурса. Известные методы ее исследования 5
1.1 Постановка задачи 5
1.2 Метод интегральных уравнений 5
1.3 Метод Римана 10
2 Исходные результаты: известные случаи разрешимости
классической задачи в квадратурах. 12
3 Постановка задачи Гурса для обобщенного уравнения Буссинеска - Лява, ее корректность. 24
4 Частный случай: факторизованное уравнение. 26
5 Общее уравнение: условия его факторизации и разрешимости в квадратурах. 29
5.1 Первый вариант рассуждений 29
5.2 Второй способ 33
Заключение 35
Список литературы
Тема данной работы относится к теории уравнений с доминирующими частными производными. Первые исследования в этом направлении были выполнены Л. Бианки и О. Никколетти [1] - [2] еще в конце 19 века, но наиболее интенсивно развиваются в последние десятилетия. Основные результаты этой теории отражены в монографиях [3] - [4].
Рассматриваемое в нашей работе уравнение имеет вид:
агд 2 Cg,3} (D) , где D = {x0 < x < X1, У0
Оно является обобщением уравнения Буссинеска - Лява
uttxx + uxx utt 0, описывающего продольные волны в тонком упругом стержне с учетом эффектов инерции [[5], формула (20)], а также процессы колебаний в периодических слоистых средах [14].
Частные случаи (1) исследовались Д. Манжероном и М. Огюсторели [6] - [8], С.Еасвараном [9] - [10], В. Радочовой [11], Ф.С. Жамаловым [12].
В процитированной выше статье [5] ее авторы А.П. Солдатов и М.Х. Шхануков изучали уравнение высокого порядка, являющееся обобщением (1), используя при этом вариант метода Римана. Несколько иной вариант того же метода именно для уравнения (1) был разработан Е.А.Уткиной [13], а затем изложен в [[3], с. 139-142]. Указанный там способ рассуждений позволяет записать формулу решения граничной задачи Гурса в терминах функции Римана R(x,y,fy), определяемой из некоторого интегрального уравнения. Если эта функция известна в явном виде, то мы получаем решение задачи Гурса в квадратурах. Ряд таких случаев указан в [13] на основе непосредственного решения интегрального уравнения.
В настоящей работе изучаются возможности отыскания новых подобных случаев, опираясь на факторизацию уравнения (1) операторами второго порядка.
Содержание изложено в пяти параграфах, первые три из которых носят подготовительный характер: приводятся известные результаты, используемые в дальнейшем. Все рассуждения проводятся на базе задачи Гурса, позволяющей записать решение с помощью специальным образом определяемой функции Римана R, о которой в общем случае известно лишь то, что она существует и является единственной. Построение же R в явном виде означает возможность решения рассматриваемого уравнения в квадратурах. Изучению возможностей такого построения посвящено содержание Глав 4 и 5.
Основными результатами проведенной работы являются:
• показано, что существует бесконечное число случаев разрешимости рассматриваемого уравнения в квадратурах, каждый из которых определяется выбором шести произвольных функций;
• выяснено, что существуют варианты изучаемого уравнения, когда применяемый метод факторизации не приводит к желаемому результату, поскольку в рассуждениях возникает необходимость решения уравнений Риккати, что в квадратурах в общем случае невозможно;
• тем не менее, предложен способ получения дополнительных ограничений на коэффициенты рассматриваемого уравнения, обеспечивающих его разрешимость в квадратурах. При этом множество разрешимых в явном виде вариантов является значительно более скромным, чем в первом пункте данного заключения: вместо шести указанных там произвольных функций для выбора каждого конкретного случая разрешимости можно использовать фиксирование только двух функций.
Полученные результаты могут быть использованы при изучении уравнений более высокого порядка (начиная с пятого).
Не исключена возможность распространения проведенных рассуждений на случаи системы уравнений.
