Рассмотрим множество полиномов:
п
фп = {z + CkZk, Ck G С}
Для каждого f G фп определим
где £1... (n-1 - критические точки полинома f.
В 1981 году Смейл [1] выдвинул гипотезу, утверждавшую, что max Т(f) = fepn
1 — П. Смейл показал, что для любого полинома из фп выполняется неравенство Т(f) < 4. С другой стороны, для полиномов вида f (z) = z + czn, где с = 0, получаем Т(f) = 1 — П. Таким образом, известно, что
1 - 1 < т(f) < 4.
п
Существует большое количество оценок для различных частных случаев. Некоторые из них можно найти в статьях [2], [3]. Целью данной дипломной работы является изучение следующей гипотезы, известной как дуальная гипотеза Смейла.
Гипотеза. min S(f) = 1.
f€ф„ 7 П
Тишлер [4] доказал, что гипотеза верна для таких полиномов, что
00 = Const.
с
для всех критических точек f. Дубинин и Сугава [5] доказали, что существует
такая критическая точка (, для которой
Гипотеза легко проверяется для малых значений п, однако, уже начиная с п = 4 проверка представляет из себя сложную задачу, требующую длительных рассуждений.
Доказательство для п = 4 было представлено Тишлером в [4]. В этой работе было установлено, что существует такая критическая точка ( полинома f, что
Однако, Тайсон [6] показал, что для п > 5 этот результат неверен.
Основным результатом данной работы является доказательство дуальной гипотезы Смейла для случаев п = 5 и п = 6.
Работа была выполнена совместно с научным руководителем профессором Каюмовым И.Р. (КФУ) и профессором Хинкканеном А. (UIUC).
Результатом данной работы является доказательство дуальной гипотезы Смейла для случаев п = 5 и п = 6. В целях упрощения исследования удалось перейти к задаче с меньшим числом переменных и получить оценку, удовлетворяющую гипотезе. Как видно из приведённых рассуждений, уже для такого значения п задача требует большого объёма вычислений. С увеличением п сложность будет возрастать.
Для решения был использован алгоритм, написанный в программе Wolfram Mathematica. Необходимость его использования обусловлена большим количеством вычислений. Приближённые методы не используются. Тот же алгоритм применим для проверки случая п = 5, однако для п > 6 он не работает из-за наличия дополнительных экстремалей. В работе представлено численное решение для п = 7. В случае п > 7 перестаёт работать и общий подход выбора критической точки, однако, контрпримеров, опровергающих гипотезу Смейла, не найдено. Таким образом, для проверки случаев п = 8 и выше необходимо разработать другие методы решения.
