Введение 3
1 Обозначения и известные
вспомогательные результаты 5
2 Корректная постановка линейных задач
для интегро-дифференциальных уравнений 10
3 Общий проекционный метод решения
интегро-дифференциальных уравнений 16
4 Реализация общего проекционного метода 20
4.1 Метод Галеркина 20
4.2 Метод Галеркина. Классический вариант 22
4.3 Метод коллокации 26
4.4 Метод коллокации. Продолжение 29
Заключение 30
Литература
Пусть r, m + 1 G N - фиксированные натуральные числа, удовлетворяющие условию r > m. Рассматривается общая линейная краевая задача
Ri(x') = 0, i = 1,m, (1)
для интегро-дифференциального уравнения
Kx = xSmt) + gk (t)x^m~k')(t)+
k=i
+1
+ £ J,Ч{t’'
где {Ri} — линейно-независимые функционалы на пространстве (m — 1)- раз непрерывно-дифференцируемых на сегменте [—1,1] функций, y(t), gk(t), k = 1,m,H hj(t,s),j = 0,r, - известные функции в своих областях определения [—1, +1] и [—1, +1] х [—1, +1].
В работе [7] такая задача при r > m > 0 отнесена к условно корректным в том смысле, что при определенных гладкостных свойствах коэффициентов уравнения за счет выбора пары пространств X искомых элементов и Y правых частей задачу удается ставить корректно по Адамару. В настоящее время такие пары построены для задачи Коши для уравнения (2) (см., напр., работу [1]). Соответствующие пространства представляют собой пространства Соболева со специальным весом, зависящим от разности порядков внутреннего и внешнего дифференциальных операторов. К сожалению, в этих пространствах приходится заниматься вопросами приближения функций различными аппаратами приближения, в частности, алгебраическими полиномами. Поэтому задача нахождения пары пространств (X, Y), в которой (1), (2) была бы поставлена корректно и в пространстве Y хорошо известны элементы теории приближений алгебраическими полиномами, по-прежнему остается актуальной, в первую очередь, с практической точки зрения для
построения наиболее простых вычислительных схем.
Здесь предлагается целое семейство пар таких пространств. При этом, без ограничения общности, можно считать функционалы Ri дискретными, точнее
Ri(x) = x(i—1)(—1), i = 1,m.
Это следует из следующего результата, доказательство которого может быть проведено путем введения новой искомой функции по формуле
г ... л (t I '
z(t) — x(t) + R(x) — x(l 1)(—1) • —
z(t) x(t) + / у J4(x) x ( 1) (i _ 1)! .
i=1 ' '
Теорема 1. Задача (1), (2) эквивалентна задаче Коши
x(i)(—1) — 0, i — 0,m — 1, (3)
для уравнения (2) с новой правой частью y(t), причем в исследуемых парах (X, Y) свойства y(t) сохраняются.
Поэтому все результаты, сформулированные для общей задачи (1), (2), доказываются лишь для задачи Коши (2), (3).
В парах конкретных пространств Соболева дано обоснование общего полиномиального проекционного метода и, в частности, доказана сходимость применительно к исходной задаче таких известных проекционных методов, как метод Галеркина и метод коллокации. При этом вычислительные схемы построены конкретно для задачи Коши (2), (3).
Отметим, что в случае периодической задачи (1), (2), обоснование полиномиальных проекционных методов ее решения проводится сравнительно просто с использованием ряда результатов Б.Г. Габдулхаева (см., наир., в [10, 11, 12]). Поэтому в работе приводятся результаты только для задачи (1), (2) в непериодическом случае.
В работе доказана корректность по Адамару общей линейной краевой задачи для интегро-дифференциальных уравнений, заданных на отрезке числовой прямой, относящейся к условно корректным задачам. Это удалось сделать за счет специального выбора пары пространств Соболева.
Дано обоснование общего полиномиального метода и, как следствие, установлена сходимость метода Галеркина в двух вариантах и метода коллокации.
Результаты работы докладывались на международных научных конференциях, а также опубликованы в журнале «Известия высших учебных заведений. Математика».
