Введение 2
§1. Задача Римана. 3
Однородная задача сопряжения в общем случае 3
Неоднородная задача сопряжения в общем случае 6
§2. Решение характеристического уравнения. 7
§3. Задача Римана в случае счетного множества разомкнутых
ДУГ. 9
Постановка задачи 9
Задача о скачке 9
Структура решений однородной задачи 11
§4. Гамма-функция Эйлера и ее свойства. 13
§5. Целая функция. 14
Глава I.Решение уравнения в случае периодически расположенных интервалов и периодической правой части. 15
Решение уравнения в классе h(bk) 15
Решение уравнения в классе h(ak) 19
Решение уравнения в классе h0 20
Решение уравнения в классе h(a0, b0) 22
Глава II. Решение уравнения в случае периодически расположенных интервалов и непериодической правой части. 25
Решение уравнения в классе h(bk) 25
Решение уравнения в классе h(ak) 31
Решение уравнения в классе h0 33
Решение уравнения в классе h(a0 ,b0) 34
Глава III.Решение уравнения в случае счетного множества интервалов, периодически расположенных в правой полуплоскости. 37
Решение уравнения в классе h(bk) 37
Решение уравнения в классе h0 42
Решение уравнения в классе h(ak, bk) 44
Заключение. 47
Список литературы 48
Задача Римана и связанные с ней сингулярные интегральные уравнения давно привлекали внимание исследователей. Н.И Ахиезером еще в 1945 году даны формулы обращения сингулярных интегралов по счетной совокупности интервалов вещественной оси с конечными точками сгущения. В 1949 году выходит работы И.Н. Карцивадзе и Б.В. Хведелидзе, в которой показано, что формулы обращения сингулярного интеграла с ядром Коши остается справедливой в определенном классе функции и для счетного множества замкнутых гладких непересекающихся контуров. Здесь же получено решения характеристического сингулярного уравнения с постоянными коэффициентами для того же множества замкнутых контуров. В случае счетного множества замкнутых контуров решается характеристическое уравнения с кусочно- постоянными коэффициентами. На контуры и коэффициенты уравнения накладываются такие ограничения, которые обеспечивают существование единственного решения. Исследованию характеристического уравнения на счетном множестве интервалов вещественной оси путем приведения к краевой задаче Римана посвящен ряд работ С.А. Фрейдкина. В работах В.А. Пааташвили рассматривается сингулярное интегральное уравнение в случае, когда L представляет счетное множество гладких замкнутых контуров, имеющих конечное число точек сгущения, отличных от бесконечности. На коэффициенты накладываются условия, ко-торые обеспечивают существование не более, чем конечного числа индексов, отличных от нуля.
Значительные результаты по решению задачи Римана и связанного с ней сингулярного интегрального уравнения в случае счетного множества контуров получены в работах Л.Н. Чибриковой и её учеников.
В работах Л.Н. Чибриковой и И.Г. Салеховой при построении решений задачи Римана была использована идея В.В. Голубева, рассматривать линию скачков кусочно- голоморфной функции как аналог полюса у меро-морфной функции. М.Ф. Кулагина применила эти результаты к изучению сингулярных интегральных уравнений в случае замкнутых контуров с одной или несколькими точками сгущения.
В настоящей работе продолжаются исследования по решению сингулярных интегральных уравнений в случае счетного множества гладких разомкнутых дуг. Для практического использования результатов интересны случаи конкретного расположения контуров. В работе рассматривается случай периодического и периодического в правой полуплоскости расположения отрезков вещественной оси. Решение уравнения получено в различных класса, определяющих поведение функции в концевых точках. Результаты работы докладывались на отчетной конференции преподавателей КФУ за 2016 год.
Решение краевых задач и многих других задач современной математики, физики и биологии приводит к сингулярным интегральным уравнениям, интегральным уравнениям с ядрами типа потенциала, интегральным уравнениям типа свертки и их дискретным аналогам. Весьма актуальной задачей является выделение таких классов уравнений, которые могут быть решены явно.
В работе рассмотрено решение характеристического уравнение в случае счетного множества интервалов с точкой сгущения на бесконечности. Рассмотрим случай периодически и периодически в правой полуплоскости расположения интервалов. В первой главе для решения уравнения был использован аппарат периодических функций. В случае непериодической правой части для решения уравнения использовалась теория краевой задачи Римана в случае счетного множества гладких разомкнутых дуг.
