Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка часто возникают в приложениях, они описывают фундаментальные законы и ряд технологических процессов. Одним из методов исследования таких уравнений является нахождение допускаемой ими алгебры Ли симметрий, что позволяет понижать порядок и интегрировать такие уравнения (см., наир., [3, 4, 5, 6]). Софус Ли решил задачу классификации таких уравнений в терминах группы симметрий, тем самым описав класс уравнений, которые могут быть решены в квадратурах таким методом. В частности, Ли показал, что каждое линеаризуемое с помощью точечных преобразований ОДУ второго порядка допускает 8-мерную алгебру Ли симметрий.
В настоящей дипломной работе мы, следуя идеям работы [2], рассматриваем квадратичное уравнение типа Лиенара y" + f (y)02 + g(y) = 0, где f (y) и g(y) — произвольные функции от зависимой переменной у. Решение определяющего уравнения и нахождение симметрий разбивается на два случая: в первом алгебра Ли имеет максимальную размерность 8, во втором — не максимальную (1,2 или 3). Мы описываем общий вид уравнений Лиенара в этих случаях и указываем допускаемую ими алгебру Ли.
Кроме того, мы приводим пример такого уравнения — одномерный осциллятор Мэтьюса-Лакшманана [1], для которого f (y) = — 1 A£ 2, g(y) = !h 1+Ay2 •
В дипломной работе решены следующие задачи:
1. Описаны все квадратичные уравнения типа Лиенара, допускающие максимальную алгебру симметрий.
2. Найдена 8-мерная алгебра Ли, допускаемая такими уравнениями.
3. Указаны квадратичные уравнения типа Лиенара, допускающие не максимальную алгебру симметрий.
4. Приведен пример такого уравнения — одномерный осциллятор Мэтьюса-Лакшманана
