Введение 3
ГЛАВА 1. Предварительные сведения 5
§ 1.1. Основные определения 5
§1.2. Общая теория приближенных методов 7
§1.3. Элементы теории дробного интегрирования 14
1.3.1. Интегральное уравнение Абеля 14
1.3.2 Интеграл дробного порядка 17
1.3.3. Дробные интегралы на оси и полуоси 18
1.3.4. Дробные интегралы комплексного порядка 21
1.3.5. Дробные интегралы некоторых элементарных функций 22
1.3.6. Квадратурные формулы для интегралов Римана-Лиувилля..24
ГЛАВА 2. Прямые методы решения дробно-интегральных уравнений Римана-Лиувилля 29
§2.1. Постановка задачи 29
§2.2. Построение вычислительной схемы прямых методов решения дробно-интегральных уравнений 29
2.2.1. Метод коллокации 29
2.2.2. Метод Галеркина 32
Список литературы 34
Приложение
Литература
В последние годы наблюдается большой интерес в области дробного исчисления. Актуальность дипломной работы состоит в том, что дробно-интегральные, дробно-дифференциальные уравнения, а также дробные интегро-дифференциальные уравнения имеют применение в различных областях науки и техники. Многие явления в механике жидкости, вязкоупругости, химии, физике, биологии и других науках можно описать с помощью математических инструментов теории дробного исчисления. Но данные задачи, как правило, точно не решаются, поэтому остро стоит вопрос о разработке, применении приближенных методов решения данных задач и их теоретическим обоснованием.
Также отметим, что в последнее время в научной литературе появляются работы, в которых предложены численные методы решения для некоторых классов уравнений. Но, несмотря на достигнутый успех в этом направлении, остается открытым вопрос теоретического обоснования применения приближенных для более общего класса подобных уравнений. В статье Янксин Ван, Ли Чжу ’’Метод второго вейвлета Чебышева для решения дробного интегро-дифференциального уравнения со слабо сингулярным ядром” [1]. В данной статье, на основе второго вейвлета Чебышева предлагается численный метод решения одного класса дробных интегро-дифференциальных уравнений со слабо сингулярным ядром. Они преобразуются в систему алгебраических уравнений. Также приведены численные примеры для иллюстрации эффективности и точности подхода.
