Тема: Группы преобразований допускаемые уравнениями типа Лиенара

В последние годы ряд работ был посвящен поиску симметрий нелинейных дифференциальных уравнений и классификации допускаемых ими алгебр Ли небольшой размерности, а также линеаризации этих уравнений. Теоретический материал об этом может быть найден, к примеру, в книгах Н.Х.Ибрагимова (см. [3, 4, 5, 6]).
Класс уравнений типа Лиенара x"+ f (x)x'+ g(x) = 0, где f (x) и g(x) — произвольные функции от зависимой переменной x, включает в себя ряд уравнений осцилляторов, естественным образом появляющихся в физических процессах. К примеру, уравнение Эмдена (или Пенлеве-Инса) х" + ax'х + bx3= 0, привлекает к себе интерес уже давно.
В настоящей дипломной работе мы, следуя идеям работ [1, 2], рассматриваем вопрос, какие алгебры Ли может допускать это уравнение. Решение определяющего уравнения и нахождение симметрий разбивается на два случая. В первом алгебра Ли имеет максимальную размерность 8. Мы описываем вид таких уравнений, указываем двумерную подалгебру Ли, наличие которой позволяет проинтегрировать уравнение. Во втором случае алгебра Ли имеет размерность 2. Он разбивается на несколько подслучаев в зависимости от обращения в нуль некоторых параметров, появляющихся в процессе решения.

Купить

В дипломной работе решены следующие задачи:
1. Описаны все квадратичные уравнения Лиенара, допускающие максимальную алгебру симметрий.
2. Указана 2-мерная подалгебра Ли, допускаемая такими уравнениями, наличие которой позволяет проинтегрировать уравнение по общеизвестному алгоритму.
3. Указаны квадратичные уравнения Лиенара, допускающие алгебру симметрий размерности 2.

Купить