ВВЕДЕНИЕ 2
1. УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА-ДЕ ВРИЗА 5
1.1 Вывод уравнения КдВ 5
1.2 Универсальность модели КдВ. Решения уравнения КдВ 10
1.3 Выводы по главе 1 15
2. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ КДВ 16
2.1 Элементы теории устойчивости по Ляпунову 16
2.2 Анализ ограниченности гамильтониана при его деформации 21
2.3 Выводы по главе 2 32
3. ОБОБЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ КдВ И ПРОБЛЕМА
УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ 33
3.1 Обобщения уравнения КдВ 33
3.2 Анализ трансформационных свойств гамильтониана
обобщенного уравнения КдВ 44
3.3 Выводы по главе 3 50
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 52
ЛИТЕРАТУРА
В последние десятилетия в различных областях физики продолжает
активно развиваться направление, связанное с исследованием нелинейных
явлений и процессов. Переход от линейности к нелинейности, при этом,
представляет собой вполне закономерный этап, обусловленный необходимостью учета все более тонких деталей наблюдаемых явлений.
В физических системах, описываемых уравнениями волнового типа,
нелинейность (т.е. зависимость поведения волнового пакета от его амплитуды), генерируя гармоники с большими волновыми числами, усиливает
диссипацию. Если при этом в системе имеется дисперсия, определяемая
как зависимость групповой скорости от волнового числа, то она, перемешивая фазы, подавляет этот процесс. В результате при равных затратах
энергии уровень колебаний в диспергирующей среде значительно выше,
чем в недиспергирующей. При этом на некоторых ветвях колебаний между
нелинейными и дисперсионными эффектами может устанавливаться равновесие, и возникают нелинейные волны и солитоны [1]. Под солитонами
обычно понимают локализованные в пространстве стационарные (локально), устойчивые во взаимодействиях образования [2]. Они представляют
собой фундаментальные структуры нелинейных волновых процессов с
дисперсией и играют важную роль в широком спектре областей, относящихся к физике сплошных сред.
Разнообразие процессов, которые необходимо принимать во внимание
при теоретическом изучении явлений в физических средах с дисперсией,
приводит к тому, что даже гидродинамические модели в достаточно полной формулировке описываются сложными системами нелинейных уравнений в частных производных. В этом плане решающее влияние на развитие теории нелинейных волн оказала идея Кортевега и де Вриза, суть которой состоит в возможности значительного упрощения исходных уравнений
без потери основных особенностей описываемых ими явлений путем со3
хранения нелинейных и дисперсионных членов с одинаковой степенью
точности. При этом часто оказывается, что одни и те же уравнения описывают явления различной физической природы в самых разнообразных средах, где имеет место дисперсия.
Впервые такое упрощенное (модельное) уравнение было получено для
волн на «мелкой» воде Кортевегом и де Вризом в 1895 г. [1], однако сам
термин «солитон» был введен лишь в 1965 г. американскими теоретиками
H. Забуски и M. Крускалом [3], которые показали, что уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ) обладает «скрытно линейными свойствами»: допускает
решения в виде стационарных уединенных волн - солитонов. Позже оказалось, что уравнение КдВ описывает широкий класс одномерных нелинейных физических систем с «действительной» дисперсией и помимо гидродинамики встречается в физике плазмы, физике верхней атмосферы и гидросферы, магнитогидродинамике, теории решеток и т.д., в этом смысле
оно является универсальным. Если средам присущи вязкость и теплопроводность, то дисперсия является «мнимой» и подход, предложенный Кортевегом и де Вризом, приводит к уравнению Бюргерса [4], решения которого хорошо описывают такие, например, нестационарные процессы, как
образование ударных волн.
Прогресс в изучении структуры и эволюции одномерных солитонов и
волновых пакетов был в значительной степени обусловлен как открытием
замечательного свойства уравнения КдВ - скрытой алгебраической симметрии, приводящей к его интегрируемости с помощью метода обратной
задачи рассеяния (ОЗР) [1], так и развитием мощного аппарата достаточно
«тонких» высокопроизводительных методов численного интегрирования
такого рода систем и проведения на их основе множества вычислительных
экспериментов.
Целью работы является исследование проблемы устойчивости решений уравнений КдВ-класса методом анализа трансформационных свойств
гамильтониана.4
Для достижения цели, необходимо решить следующие задачи:
1) изучение теории уравнения КдВ и обобщенного уравнения КдВ, а также их возможных решений;
2) изучение теории устойчивости одномерных динамических систем;
3) анализ ограниченности гамильтонианов уравнения КдВ и обобщенного
уравнения КдВ при их деформациях.
В данной выпускной квалификационной работе был рассмотрен вывод уравнения КдВ, исходя из полной системы уравнений газогидродинамики для обобщенных функций и параметров.
Показана универсальность модели КдВ случаях волн на поверхности
«мелкой» жидкости, ионно-звуковых волн в плазме без магнитного поля,
МЗ волн в замагниченной плазме. Откуда сделали вывод, что уравнение
КдВ можно применять как для сред с отрицательной дисперсией, так и для
сред с положительной дисперсией.
Представлено обобщение уравнения КдВ введением высшей дисперсионной поправки, играющей определяющую роль при учете тонких дисперсионных эффектов.
При помощи функции Ляпунова (второй метод Ляпунова) в соответствии с первым приближением (первый метод) было продемонстрировано
исследование на устойчивость решения некоторых систем.
Проведен анализ устойчивости решений уравнения КдВ методом анализа ограниченности гамильтониана, имеющего смысл энергии системы,
при его деформациях [1, 2, 7], и найден критерий, отвечающий устойчивости. Таким образом, была аналитически доказана устойчивость солитонов
уравнения КдВ, а именно: доказано, что для примера, в случае, когда интегральные коэффициенты а=-3 и е=2, значения которых определяют, в конечном счете, параметры физической среды распространения волны, гамильтониан ограничен снизу, а значит, решения являются устойчивыми.
Используя полученные в работе результаты, можно исследовать и
прогнозировать устойчивость солитонных волновых структур, описываемых обобщенными уравнениями КдВ-класса, таких как: волны в вязкой
жидкости, внутренние гравитационные волны (ВГВ) в F-слое ионосферы,
нелинейные импульсы тока и напряжения в длинных электрических линиях , быстрые магнитозвуковые (БМЗ) волны в замагниченной плазме и др.53
При этом, вместо обобщенный функций и коэффициентов в модельном
уравнении надо рассматривать конкретные функции и параметры среды
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
