Введение 3
Глава 1. Теоретические аспекты интерполяций таблиц смертности для дробных возрастов 5
1.1 Основные методы интерполяций таблиц смертности 5
1.2 Вывод формул для срочного аннуитета пренумерандо и нетто-премии 9
Глава 2. Численное сравнение расчетов по таблицам смертности субъектов
Российской Федерации 13
2.1 Расчеты нетто-премии и аннуитета пренумерандо по Республике
Татарстан 13
2.2 Расчеты нетто-премии и аннуитета пренумерандо по некоторым
субъектам Российской Федерации 18
Глава 3. Кривая дожития по закону Мейкема 19
Заключение 25
Список использованных источников
Работа посвящена изучению некоторых аспектов вычисления страховых премий в случае, когда страховые выплаты осуществляются несколько раз в году.
В страховой практике ежемесячные взносы выбираются при заключении договора страхования жизни на длительные сроки гораздо чаще годовых или единовременных взносов. И для расчета рассроченной нетто-премии необходимо решить задачу интерполяции таблиц смертности для дробных возрастов.
В актуарной математике традиционно используются интерполяции следующих трех типов (s(x) - функция дожития, 0
1) Линейная интерполяция (равномерное распределение смертей внутри года) s( x+t) = (1 -t) s( x) + ts( x +1);
2) Показательная интерполяция (постоянная интенсивность смертности) s( x+1) = s( x)1-t s( x + 1)t;
Целью настоящей дипломной работы стало изучение и сравнение данных интерполяций, как в общей ситуации, так и в случае таблиц смертности, аппроксимируемых законом Мейкема
Задачи были поставлены следующие:
1) сравнить линейную, показательную и гиперболическую (Бальдуччи) интерполяции таблиц смертности населения;
2) вычислить разницы в нетто-премиях по договору страхования на дожитие с использованием реальных таблиц смертности населения;
3) вычислить указанные разницы в случае, когда таблица смертности считается аппроксимируемой законом Мейкема.
Работа развивает подход, намеченный в статье [5], при этом используется математический и понятийный аппарат, построенный в работах [1], [3]; см. также [2].
В главе 1 дан обзор теоретических аспектов интерполяций таблиц смертности для дробных возрастов. В главе 2 приведено численное сравнение расчетов по таблицам смертности субъектов РФ. Глава 3 посвящена вычислениям для мейкемовских аппроксимаций таблиц смертности населения.
В результате мы получили выражения оценок разностей интерполяций, а также актуарные характеристики для линейной, показательной интерполяции и Бальдуччи.
Были выведены формулы для Е,. - - срочного аннуитета пренумерандо, уплачиваемого mраз в год для трех интерполяций, и для них была дана численная оценка результатов вычислений по выведенным формулам. Вычислялись г - ежемесячная нетто-премия в договоре страхования на
Х’й|
дожитие на срок n=5лет на сумму 1000 у.е. при годовой процентной ставке i=5 % при m=12.Затем срок уменьшался до n=1года.
Провели расчеты по таблицам смертности для некоторых субъектов РФ.
По результатам вычислений по реальной таблице смертности Республики Татарстан разница в результатах расчетов в зависимости от гипотезы незначительна.
В среднем по всем возрастам разница в премиях при заданном значении предельного возраста ®=95, рассчитанных по линейной интерполяции и Бальдуччи, не превосходит 0,0049 %; по линейной и показательной - 0,00056 %; по показательной и Бальдуччи - 0,0054 %.
С возрастом разница в расчетах ежемесячной нетто-премии увеличивается.
При изменении процентной ставки с 5% на 10% было выявлено, что линейная и показательная интерполяции по значениям находятся близко друг к другу, а Бальдуччи отдалилась еще больше от них.
Также были рассмотрены таблицы смертности для Башкортостана, Удмуртии, Чувашии, Марий Эл, Кировской и Ульяновской областей.
По полученным результатам можно сделать вывод, что к среднему между нетто-премиями, посчитанными тремя видами интерполяции, ближе всего находится условие постоянства силы смертности и практически все разницы посчитанные по спектру регионов РФ попадают в промежутки, которые были предложены В.Ш.Трофимовой.
Далее мы вычислили указанные разницы в случае, когда таблица смертности считается аппроксимируемой законом Мейкема. Рассмотрели параметры для закона Мейкема, представленные двумя разными авторами: Савичем С.Е. и Бауэрсом Н. и другими. Построили функции дожития по всем вариантам параметров и сравнили их с кривой дожития по РТ и другим регионам, а также в целом по России.
В результате сравнения вычислений по реальной таблице и таблице смертности аппроксимируемой законом Мейкема видим, что разница в результатах незначительна. Исходя из последних соображений, делаем вывод, что лучше использовать гипотезу о постоянстве силы смертности.
