Оценка параметров биномиального распределения по выборке фиксированного объема п, когда оба параметра т и р неизвестны, уже более полувека остается важной статистической проблемой. Это объясняется рядом причин, связанных как с трудностью решения данной проблемы, так и тем, что существует сравнительно мало легко вычисляемых мотивированных оценок, обладающих свойством робастности к наличию резко выделяющихся наблюдений; известные оценки т, как правило, занижают истинное значение т. Следует отметить, что оценка параметра т имеет много интересных практических применений: подсчет количества ошибок в программных кодах (см., например, [1]), выявление размера замкнутой популяции животных, определение числа везикул с ацетилхолином в нервном окончании при исследованиях нервного синапса (при этом, как отмечалось выше, р - вероятность выброса ацетилхолина каждой везикулой) [2], и много других примеров. В связи с этим построение оценок параметров т и р биномиального распределения является весьма актуальной проблемой.
Одна из первых работ теоретического плана, посвященных статистическим проблемам биномиального распределения, принадлежит, по-видимому, Haldane [3], где предлагаются оценки по методу моментов параметров т и р биномиального распределения и обсуждается алгоритм численного нахождения оценок т и р по методу максимального правдоподобия. Более подробное исследование оценок по методу максимального правдоподобия содержится в последующей работе Binet [4]. Обзор и анализ точностных свойств обоих методов оценки с численными иллюстрациями точностных характеристик оценок дается в работах Blumenthal и Dahiya [5], а также Olkin, Petkau и Zidek [6]. Отметим также одну из пионерских работ Hoel [7], где предлагается тестовая статистика для проверки простой гипотезы т = т0 против сложной альтернативы т > т0 при неизвестном значении параметра р. Затем эта статистика используется при построении доверительного интервала для т и предлагается точечная оценка т типа оценки по методу моментов. Анализ асимптотических свойств и распределений всевозможных оценок параметров биномиального распределения, включая их робастные свойства, дается в статье Hall [8]. В статьях Draper и Guttman [9], Raftery [10], Carroll и Lombard [11] строятся байесовские оценки биномиальных параметров; их хорошие точностные и робастные свойства отмечают Carroll и Lombard [11]. Обзор современного состояния проблемы оценки параметров биномиального распределения дается в статье DasGupta и Rubin [1], где предлагаются в том числе новые оценки и исследуются их асимптотические свойства.
К общим методам построения оценок параметров распределения относятся: метод максимального правдоподобия, метод моментов, метод наименьших квадратов, байесовский метод. В настоящей работе рассматривается только метод моментов для оценок параметров т и р биномиального распределения. В отличие от предшествующих работ, содержание которых дано в представленном выше обзоре, дельта-метод используется для доказательства асимптотической нормальности совместного распределения оценок т и р по методу моментов. Поскольку для этих оценок моменты любого порядка не существуют, то параметры асимптотической нормальности не допускают прямой интерпретации как характеристики точностных свойств оценок - смещение и дисперсия. Предлагается модификация оценок, основанная на прибавлении к знаменателям статистик, определяющих оценки, постоянных членов порядка о(1/п), что, очевидно, не влияет на параметры установленной асимптотической нормальности. Для модифицированных таким образом оценок параметры асимптотической нормальности становятся характеристиками среднего, дисперсии и ковариации оценок т и р. На основе данных статистического моделирования исследуются возможности использования асимптотического распределения и его параметров для выявления точностных свойств как непосредственных оценок т и р, так и их стандартных модификаций, устраняющих отрицательные значения оценки для параметра р и значения оценки т, меньшие наибольшего значения в выборке. Приводится пример с реальными данными исследования нервного синапса, когда оценивается число везикул с ацетилхолином в нервном окончании и вероятность освобождения ацетилхолина каждой везикулой.

Купить

В работе исследованы асимптотические свойства оценок параметров биномиального распределения по методу моментов. С помощью дельта-метода доказана теорема о совместной асимптотической нормальности оценок тn и рп, найдены параметры асимптотической нормальности и дана их трактовка как смещений и квадратичных рисков оценок. При исследовании точностных свойств оценок по данным статистического моделирования, были рассмотрены оригинальные и скорректированные версии оценок. Неисправленная оценка параметра р близка к нормальному распределению. У исправленной оценки близость к нормальному распределению наблюдается только при больших значениях параметра р. Для оценки параметра т асимптотика дисперсии практически не применима. Таким образом, методом статистического моделирования были проиллюстрированы расхождения между представленными асимптотиками и истинными вероятностными характеристиками оценок при различных значениях rn, пи р. В качестве приложения получены оценки основных характеристик нервного синапса - числа везикул с ацетилхолином в нервном окончании и вероятности освобождения ацетилхолина каждой везикулой.
Купить